Pertanyaan

Diketahui x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan 2 sin x = 3 cotan x untuk 0 ≤ x ≤ 2 π . Jika x 1 > x 2 , maka nilai tan ( x 1 − x 2 ) adalah ...

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar persamaan $2 sin x = 3 cotan x$ untuk $0 \leq x \leq 2 π$ . Jika $x_{1} > x_{2}$ , maka nilai $tan (x_{1} - x_{2})$ adalah ...

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar E.

Pembahasan

Penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah sebagai berikut: Bentuk sama dengan bentuk . Sehingga terbentuklah persamaan kuadrat trigonometri. Ingatlah bahwa . Maka: Selanjutnya, untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat di atas, gunakan pemisalan Misalkan maka: Sehingga akar-akarnya adalah . Karena , maka akar-akarnya: nilai x dari persamaan tidak mempunyai solusi, sedangkan nilai x dari persamaan mempunyai solusi di yaitu: . Pada soal diketahui bahwa maka: . Ditanyakan, nilai dari yaitu: Dengan demikian, nilai adalah . Oleh karena itu, jawaban yang benar E.

Penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah sebagai berikut:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 space sin space straight x end cell equals cell 3 space cotan space straight x end cell row cell 2 space sin space straight x minus 3 space cotan space straight x end cell equals 0 row cell 2 space sin space straight x minus 3 space fraction numerator 1 over denominator tan space straight x end fraction end cell equals 0 row cell 2 space sin space straight x minus 3 space fraction numerator cos space straight x over denominator sin space straight x end fraction end cell equals 0 row cell fraction numerator 2 space sin squared straight x minus 3 space cos space straight x over denominator sin space straight x end fraction end cell equals 0 end table$

Bentuk $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator 2 space sin squared straight x minus 3 space cos space straight x over denominator sin space straight x end fraction end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 0 end table$ sama dengan bentuk Error converting from MathML to accessible text. . Sehingga terbentuklah persamaan kuadrat trigonometri. Ingatlah bahwa sin squared x equals 1 minus cos squared x . Maka:

Selanjutnya, untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat di atas, gunakan pemisalan

Misalkan u left parenthesis x right parenthesis equals cos space x maka:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 u squared plus 3 u minus 2 end cell equals 0 row cell open parentheses u plus 2 close parentheses open parentheses 2 u minus 1 close parentheses end cell equals 0 end table

Sehingga akar-akarnya adalah u subscript 1 equals negative 2 comma space u subscript 2 equals 1 half . Karena u left parenthesis x right parenthesis equals cos space x , maka akar-akarnya:

cos space x equals negative 2 cos space x equals 1 half

nilai x dari persamaan cos space x equals negative 2 tidak mempunyai solusi, sedangkan nilai x dari persamaan cos space x equals 1 half mempunyai solusi di 0 less or equal than x less or equal than 2 straight pi yaitu:

$x subscript 1 equals straight pi over 3 space dan space x subscript 2 equals fraction numerator 5 straight pi over denominator 3 end fraction$ .

Pada soal diketahui bahwa straight x subscript 1 greater than straight x subscript 2 maka:

$x subscript 1 equals fraction numerator 5 straight pi over denominator 3 end fraction space dan space x subscript 2 equals straight pi over 3$ .

Ditanyakan, nilai dari tan open parentheses straight x subscript 1 minus straight x subscript 2 close parentheses yaitu:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell tan open parentheses straight x subscript 1 minus straight x subscript 2 close parentheses end cell equals cell tan open parentheses fraction numerator 5 straight pi over denominator 3 end fraction minus straight pi over 3 close parentheses end cell row blank equals cell tan open parentheses fraction numerator 4 straight pi over denominator 3 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell tan open parentheses straight pi plus straight pi over 3 close parentheses end cell row blank equals cell tan open parentheses straight pi over 3 close parentheses end cell row blank equals cell square root of 3. end cell end table$

Dengan demikian, nilai tan open parentheses straight x subscript 1 minus straight x subscript 2 close parentheses adalah square root of 3 .

Oleh karena itu, jawaban yang benar E.