Diketahui f ( x ) + f ( x − 1 ) = x 2 dan f ( 9 ) = 2021 maka f ( 100 ) = …

Pembahasan

Ingat rumus berikut : a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) Rumus jumlah suku ke-n deret aritmetika : S n ​ = 2 1 ​ n ( a + U n ​ ) Rumus mencari suku ke-n baris aritmetika : U n ​ = a + ( n − 1 ) b Keterangan : S n ​ = jumlah n suku pertama a = suku pertama baris aritmetika n = banyaknya suku barisan aritmetika b = beda Langkah-langkah: 1. Menemukan pola dari f ( 100 ) . 2. Mencari banyak suku. 3. Mencari hasil f ( 100 ) . Langkah 1 (menemukan pola dari f ( 100 ) ): Dari soal diketahui f ( x ) + f ( x − 1 ) = x 2 dan f ( 9 ) = 2021 f ( x ) + f ( x − 1 ) f ( x ) f ( 100 ) ​ = = = = = = = = ​ x 2 x 2 − f ( x − 1 ) 10 0 2 − f ( 99 ) 10 0 2 − ( 9 9 2 − f ( 98 ) ) 10 0 2 − 9 9 2 + f ( 98 ) 10 0 2 − 9 9 2 + 9 8 2 − 9 7 2 + 9 6 2 − 9 5 2 + …⋯ + 1 2 2 − 1 1 2 + 1 0 2 − f ( 9 ) 199 + 195 + ⋯ + 23 + 100 − 2021 ( 23 + 27 + 31 + ⋯ + 195 + 199 ) + 100 − 2021 ​ Langkah 2 (mencari banyak suku): Diperoleh bahwa ​ ​ 23 + 27 + 31 + ⋯ + 195 + 199 ​ merupakan deret aritmetika dengan beda setiap suku adalah 4 . Berdasarkan rumus mencari suku ke-n deret aritmetikamaka: b a U n ​ U n ​ n n ​ = = = = = = ​ 27 − 23 = 4 23 199 a + ( n − 1 ) b b U n ​ − a ​ + 1 4 199 − 23 ​ + 1 = 45 ​ Langkah 3 (mencari hasil f ( 100 ) ): Diperoleh jumlah suku dalam deret tersebut 45 , berdasarkan rumus mencari jumlah suku ke-n maka : S n ​ = 2 1 ​ n ( a + U n ​ ) S 45 ​ = 2 45 ​ × ( 23 + 199 ) = 4.995 f ( 100 ) = 4.995 + 100 − 2021 = 3.074 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.