Diketahui A(−2, 1, 3), B(−3, 1, 2), dan C(3, 2, −1). Jika a, b, dan c merupakan vektor posisi dari A, B, dan C, nyatakan vektor-vektor berikut ke dalam bentuk vektor satuan i, j, dan k. c. 3c+4a−5b

Pertanyaan

Diketahui $\mathrm A\left(-2,\;1,\;3\right)$ , $\mathrm B\left(-3,\;1,\;2\right)$ , dan $\mathrm C\left(3,\;2,\;-1\right)$ . Jika $\overrightarrow a$ , $\overrightarrow b$ , dan $\overrightarrow c$ merupakan vektor posisi dari $\mathrm A$ , $\mathrm B$ , dan $\mathrm C$ , nyatakan vektor-vektor berikut ke dalam bentuk vektor satuan $\overrightarrow i$ , $\overrightarrow j$ , dan $\overrightarrow k$ . $\;$

c. $3\overrightarrow c+4\overrightarrow a-5\overrightarrow b$ $\;$

S. Dwi

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

vektor $3\overrightarrow c+4\overrightarrow a-5\overrightarrow b$ dalam bentuk vektor satuan $\overrightarrow i$ , $\overrightarrow j$ , dan $\overrightarrow k$ adalah $\begin{array}{rcl}&&16\overrightarrow i+5\overrightarrow j-\overrightarrow k\end{array}$ .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan c adalah $\begin{array}{rcl}&&16\overrightarrow i+5\overrightarrow j-\overrightarrow k\end{array}$ .

$\overrightarrow c$ merupakan vektor posisi dari titik $\mathrm C\left(3,\;2,\;-1\right)$ dan dapat dinyatakan sebagai berikut. $\;$ $\;$

$\overrightarrow c=3\overrightarrow i+2\overrightarrow j-\overrightarrow k$ $\;$ $\;$

Hasil perkalian suatu vektor $\overrightarrow a=x\overrightarrow i+y\overrightarrow j+z\overrightarrow k$ dengan $m$ suatu skalar yaitu: $\;$ $\;$

$\begin{array}{rcl}m\overrightarrow a&=&m\left(x\overrightarrow i+y\overrightarrow j+z\overrightarrow k\right)\\&=&mx\overrightarrow i+my\overrightarrow j+mz\overrightarrow k\end{array}$ $\;$

Sehingga, dapat diperoleh: $\;$

$\begin{array}{rcl}3\overrightarrow c&=&3\left(3\overrightarrow i+2\overrightarrow j-\overrightarrow k\right)\\&=&9\overrightarrow i+6\overrightarrow j-3\overrightarrow k\\4\overrightarrow a&=&4\left(-2\overrightarrow i+\overrightarrow j+3\overrightarrow k\right)\\&=&-8\overrightarrow i+4\overrightarrow j+12\overrightarrow k\\5\overrightarrow b&=&5\left(-3\overrightarrow i+\overrightarrow j+2\overrightarrow k\right)\\&=&-15\overrightarrow i+5\overrightarrow j+10\overrightarrow k\end{array}$ $\;$ $\;$

Ingat! $\;$

Untuk penjumlahan dua vektor atau lebih, dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang sejenis, seperti berikut: $\;$

$\overrightarrow p+\overrightarrow q+\overrightarrow r=\left(x_1+x_2+x_3\right)\overrightarrow i+\left(y_1+y_2+y_3\right)\overrightarrow j+\left(z_1+z_2+z_3\right)\overrightarrow k$ $\;$

Untuk pengurangan dua vektor atau lebih, dilakukan dengan mengurangi elemen-elemen yang sejenis, seperti berikut: $\;$

$\overrightarrow p-\overrightarrow q-\overrightarrow r=\left(x_1-x_2-x_3\right)\overrightarrow i+\left(y_1-y_2-y_3\right)\overrightarrow j+\left(z_1-z_2-z_3\right)\overrightarrow k$ $\;$

$\;$ Jadi, $3\overrightarrow c+4\overrightarrow a-5\overrightarrow b$ dapat diperoleh sebagai berikut. $\;$ $\;$

$\style{font-size:12px}{\begin{array}{l}3\overrightarrow c+4\overrightarrow a-5\overrightarrow b\\=\left(9\overrightarrow i+6\overrightarrow j-3\overrightarrow k\right)+\left(-8\overrightarrow i+4\overrightarrow j+12\overrightarrow k\right)-\left(-15\overrightarrow i+5\overrightarrow j+10\overrightarrow k\right)\\=16\overrightarrow i+5\overrightarrow j-\overrightarrow k\end{array}}$ $\;$

Dengan demikian, vektor $3\overrightarrow c+4\overrightarrow a-5\overrightarrow b$ dalam bentuk vektor satuan $\overrightarrow i$ , $\overrightarrow j$ , dan $\overrightarrow k$ adalah $\begin{array}{rcl}&&16\overrightarrow i+5\overrightarrow j-\overrightarrow k\end{array}$ .