Pertanyaan

Diketahui cos α = 5 3 dan sin β = 2 1 2 , α dan β sudut lancip. Tentukan: a) cos ( α + β )

Diketahui $cos α = \frac{3}{5}$ dan $sin β = \frac{1}{2} 2$ , $α$ dan $β$ sudut lancip. Tentukan:

a) $cos (α + β)$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai cos ( α + β ) adalah − 10 1 2 .

nilai

cos (α + β)

adalah

- \frac{1}{10} 2

Pembahasan

Ingat bahwa rumus perbandingan trigonometri penjumlahandua sudut untuk cosinus adalah sebagai berikut: cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β Diketahui bahwa cos α = 5 3 , dimana α sudut lancip atau sudut pada kuadran I. Pada kuadran I, nilai trigonometri untuk sinus, cosinus ataupun tangenakan selalu bernilai positif.Berdasarkan definisi cosinus, dari cos α = 5 3 diperoleh perbandingan antara sisi sampingdan sisi miring dari suatu segitiga siku-siku adalah 3 : 5 . Sisi depansegitiga tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan teorema pythagoras yaitu: sisi depan = = = = = ( sisi miring ) 2 − ( sisi samping ) 2 5 2 − 3 2 25 − 9 16 4 Kemudian nilai sin α dapat diperoleh berdasarkan definisi sinus dan aturan nilai trigonometri pada kuadran I. Sehingga, sin α = = sisi miring sisi depan 5 4 Diketahui bahwa sin β = 2 1 2 , dimana β sudut lancip atau sudut pada kuadran I.Pada kuadran I, nilai trigonometri untuk sinus, cosinus ataupun tangen akan selalu bernilai positif. 2 1 2 merupakan nilai sinus dari sudut istimewa 4 5 ∘ . Maka, besar sudut β adalah 4 5 ∘ . Sehingga, nilai dari cos β adalah sebagai berikut: cos β = = cos 4 5 ∘ 2 1 2 Setelah memperoleh nilai sin α dan cos β , maka nilai cos ( α + β ) dapat diperoleh melalui perhitungan berikut: cos ( α + β ) = = = = = = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β 5 3 ⋅ 2 1 2 − 5 4 ⋅ 2 1 2 2 1 2 ( 5 3 − 5 4 ) 2 1 2 ( − 5 1 ) − 2 × 5 1 2 − 10 1 2 Dengan demikian, nilai cos ( α + β ) adalah − 10 1 2 .

Ingat bahwa rumus perbandingan trigonometri penjumlahan dua sudut untuk cosinus adalah sebagai berikut:

$cos (α + β) = cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β$

Diketahui bahwa $cos α = \frac{3}{5}$ , dimana $α$ sudut lancip atau sudut pada kuadran I. Pada kuadran I, nilai trigonometri untuk sinus, cosinus ataupun tangen akan selalu bernilai positif. Berdasarkan definisi cosinus, dari $cos α = \frac{3}{5}$ diperoleh perbandingan antara sisi samping dan sisi miring dari suatu segitiga siku-siku adalah $3 : 5$ . Sisi depan segitiga tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan teorema pythagoras yaitu:

$sisi depan = = = = = (sisi miring)^{2} - (sisi samping)^{2} 5^{2} - 3^{2} 25 - 9 164$

Kemudian nilai $sin α$ dapat diperoleh berdasarkan definisi sinus dan aturan nilai trigonometri pada kuadran I. Sehingga,

$sin α = = \frac{sisi depan}{sisi miring} \frac{4}{5}$

Diketahui bahwa $sin β = \frac{1}{2} 2$ , dimana $β$ sudut lancip atau sudut pada kuadran I. Pada kuadran I, nilai trigonometri untuk sinus, cosinus ataupun tangen akan selalu bernilai positif. $\frac{1}{2} 2$ merupakan nilai sinus dari sudut istimewa $4 5^{\circ}$ . Maka, besar sudut $β$ adalah $4 5^{\circ}$ . Sehingga, nilai dari $cos β$ adalah sebagai berikut:

$cos β = = cos 4 5^{\circ} \frac{1}{2} 2$

Setelah memperoleh nilai $sin α$ dan $cos β$ , maka nilai $cos (α + β)$ dapat diperoleh melalui perhitungan berikut:

$cos (α + β) = = = = = = cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} 2 - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} 2 \frac{1}{2} 2 (\frac{3}{5} - \frac{4}{5}) \frac{1}{2} 2 (- \frac{1}{5}) - \frac{1}{2 \times 5} 2 - \frac{1}{10} 2$