Pertanyaan

Diketahui bidang empat beraturan T.ABCdengan panjang rusuk 12 cm . Jikatitik Pberada di pertengahan TB , maka sinus sudut antara CP dengan bidang alas adalah ....

Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk $12 cm$ . Jika titik P berada di pertengahan $\overline{TB}$ , maka sinus sudut antara $\overline{CP}$ dengan bidang alas adalah ....

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Natalia

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Bidang empat beraturan T.ABCdengan titikP terletak di pertengahan TB dapat diilustrasikan sebagai berikut. Karena T.ABC merupakan bidang empat beraturan, maka keempat sisinya merupakan segitiga sama sisi yang kongruen. Selanjutnya, proyeksikan titik Pke bidang alas sehingga didapat titik P ′ sebagai berikut. Misalkan Oadalah titik berat segitiga ABCdan titik B ′ adalah proyeksi titikBpada sisi di hadapannya. Perhatikan bahwa sudut yang terbentuk antara CP dan bidang alas adalah . Oleh karena itu, untuk mencari nilai sinusnya, perlu dicari panjang sisi-sisi segitiga PCP ′ terlebih dahulu. Langkah 1: Tentukan panjang sisi CP . Diketahui bahwa P merupakan titik tengah TB . Artinya, CP merupakan garis berat segitiga CBT. Ingat bahwa pada segitiga sama sisi, garis berat segitiga juga merupakan garis tinggi segitiga. Akibatnya, panjang CP dapat dihitung menggunakan rumus Pythagoras sebagai berikut. ∣ ∣ CP ∣ ∣ = = = = = = ∣ ∣ CT ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ TP ∣ ∣ 2 ∣ ∣ CT ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ 2 1 ⋅ TB ∣ ∣ 2 1 2 2 − ( 2 1 ⋅ 12 ) 2 144 − 36 108 6 3 Jadi, didapat panjang CP adalah 6 3 cm . Langkah 2: Tentukan panjang sisi PP ′ . Perhatikan bahwa BB ′ jugamerupakan garis tinggi dan garis berat segitiga ABC. Karena segitiga ABC kongruen dengan segitiga CBT, maka panjang BB ′ = ∣ ∣ CP ∣ ∣ = 6 3 cm . Kemudian, karena O merupakan titik berat segitiga sama sisi ABC, maka didapat panjang BO sebagai berikut. ∣ ∣ BO ∣ ∣ = = = 3 2 ∣ ∣ BB ′ ∣ ∣ 3 2 ⋅ 6 3 4 3 Selanjutnya, perhatikan bahwa segitiga BP ′ P dan BOT merupakan dua buah segitiga yang sebangun. Dengan menggunakan prinsip kesebangunan, didapat perhitungan sebagai berikut. ∣ BO ∣ ∣ BP ′ ∣ 4 3 ∣ BP ′ ∣ ∣ ∣ BP ′ ∣ ∣ ∣ ∣ BP ′ ∣ ∣ = = = = BT ∣ BP ∣ 12 6 12 6 ⋅ 4 3 2 3 Selanjutnya, dengan menerapkan rumus Pythagoras pada segitiga BP ′ P dengan siku-siku dit titik P ′ , didapat perhitungan sebagai berikut. ∣ ∣ PP ′ ∣ ∣ = = = = = ∣ ∣ BP ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ BP ′ ∣ ∣ 2 6 2 − ( 2 3 ) 2 36 − 12 24 2 6 Jadi, didapat panjang PP ′ adalah 2 6 cm . Langkah 3: Tentukan nilai dari sin ∠ PCP ′ . Dengan demikian, sinus sudut antara CP dengan bidang alas adalah sebagai berikut. sin ∠ PCP ′ = = = ∣ CP ∣ ∣ PP ′ ∣ 6 3 2 6 3 1 2 Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Bidang empat beraturan T.ABC dengan titik P terletak di pertengahan $\overline{TB}$ dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Karena T.ABC merupakan bidang empat beraturan, maka keempat sisinya merupakan segitiga sama sisi yang kongruen.

Selanjutnya, proyeksikan titik P ke bidang alas sehingga didapat titik $P^{'}$ sebagai berikut.

Misalkan O adalah titik berat segitiga ABC dan titik $B^{'}$ adalah proyeksi titik B pada sisi di hadapannya.

Perhatikan bahwa sudut yang terbentuk antara $\overline{CP}$ dan bidang alas adalah .

Oleh karena itu, untuk mencari nilai sinusnya, perlu dicari panjang sisi-sisi segitiga $PCP^{'}$ terlebih dahulu.

Langkah 1: Tentukan panjang sisi $CP$ .

Diketahui bahwa P merupakan titik tengah $\overline{TB}$ . Artinya, $\overline{CP}$ merupakan garis berat segitiga CBT. Ingat bahwa pada segitiga sama sisi, garis berat segitiga juga merupakan garis tinggi segitiga. Akibatnya, panjang $\overline{CP}$ dapat dihitung menggunakan rumus Pythagoras sebagai berikut.

$∣ ∣ \overline{CP} ∣ ∣ = = = = = = ∣ ∣ \overline{CT} ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ \overline{TP} ∣ ∣^{2} ∣ ∣ \overline{CT} ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ \frac{1}{2} \cdot \overline{TB} ∣ ∣^{2} 1 2^{2} - (\frac{1}{2} \cdot 12)^{2} 144 - 36 10863$

Jadi, didapat panjang $CP$ adalah $63 cm$ .

Langkah 2: Tentukan panjang sisi $PP^{'}$ .

Perhatikan bahwa $\overline{BB^{'}}$ juga merupakan garis tinggi dan garis berat segitiga ABC. Karena segitiga ABC kongruen dengan segitiga CBT, maka panjang $\overline{BB^{'}} = ∣ ∣ \overline{CP} ∣ ∣ = 63 cm$ .

Kemudian, karena O merupakan titik berat segitiga sama sisi ABC, maka didapat panjang $\overline{BO}$ sebagai berikut.

$∣ ∣ \overline{BO} ∣ ∣ = = = \frac{2}{3} ∣ ∣ \overline{BB^{'}} ∣ ∣ \frac{2}{3} \cdot 63 43$

Selanjutnya, perhatikan bahwa segitiga $BP^{'} P$ dan BOT merupakan dua buah segitiga yang sebangun.

Dengan menggunakan prinsip kesebangunan, didapat perhitungan sebagai berikut.

$\frac{∣ BP ^{'} ∣}{∣ BO ∣} \frac{∣ BP ^{'} ∣}{4 3} ∣ ∣ \overline{BP^{'}} ∣ ∣ ∣ ∣ \overline{BP^{'}} ∣ ∣ = = = = \frac{∣ BP ∣}{BT} \frac{6}{12} \frac{6}{12} \cdot 43 23$

Selanjutnya, dengan menerapkan rumus Pythagoras pada segitiga $BP^{'} P$ dengan siku-siku dit titik $P^{'}$ , didapat perhitungan sebagai berikut.

$∣ ∣ \overline{PP^{'}} ∣ ∣ = = = = = ∣ ∣ \overline{BP} ∣ ∣^{2} - ∣ ∣ \overline{BP^{'}} ∣ ∣^{2} 6^{2} - (23)^{2} 36 - 12 2426$

Jadi, didapat panjang $PP^{'}$ adalah $26 cm$ .

Langkah 3: Tentukan nilai dari $sin ∠ PCP^{'}$ .

Dengan demikian, sinus sudut antara $\overline{CP}$ dengan bidang alas adalah sebagai berikut.

$sin ∠ PCP^{'} = = = \frac{∣ PP ^{'} ∣}{∣ CP ∣} \frac{2 6}{6 3} \frac{1}{3} 2$

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Bidang empat beraturan T.ABCmemiliki panjang rusuk 4 cm . Diketahui titik P terletak pada pertengahan rusuk BC. Nilai tangen sudut antara ruas garis TP dengan bidang alas adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Bidang empat beraturan T.ABCmemiliki panjang rusuk 4 cm . Diketahui titik P terletak pada pertengahan rusuk BC. Nilai tangen sudut antara ruas garis TP dengan bidang alas adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, titik P berada di pertengahan ruas garis EH, tangen sudut antara garis AP dengan bidang BDHF adalah…

0.0

Jawaban terverifikasi

Pada limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = BC =6 dan T A = TB = TC = T D = 3 6 , sinus sudut antara garis TA dengan TBC adalah….

0.0

Jawaban terverifikasi

Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 1 cm, sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah ….

5.0

Jawaban terverifikasi