Pertanyaan

Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan: c. Persamaan garis singgung yang melalui titik A dan titik B.

Diberikan titik $R (1, 4)$ di luar lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 2 y = 1$ . Tentukan:

c. Persamaan garis singgung yang melalui titik A dan titik B.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan garis singgungnya adalah 7 x + y − 11 = 0 dan − x + y − 3 = 0 .

persamaan garis singgungnya adalah

7 x + y - 11 = 0

dan

- x + y - 3 = 0

Pembahasan

Ingat kembali: Persamaan garis polar pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B x + C = 0 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C = 0 Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B x + C = 0 pada titik ( x 1 , y 1 ) adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C = 0 Pada soal diketahui bahwa: x 2 + y 2 − 2 y x 2 + y 2 − 2 y − 1 = = 1 0 A = 0 , B = − 2 , C = − 1 R ( 1 , 4 ) → x 1 = 1 , y 1 = 4 Titik yang diberikan adalah R ( 1 , 4 ) yang berada di luar lingkaran, sehingga diperoleh persamaan garis polarnya, x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C 1 ⋅ x + 4 ⋅ y + 2 0 ( 1 + x ) + 2 − 2 ( 4 + y ) + ( − 1 ) x + 4 y − 1 ( 4 + y ) − 1 x + 4 y − 4 − y − 1 x + 3 y − 5 x = = = = = = 0 0 0 0 0 − 3 y + 5 Selanjutnya menentukan titik potong lingkaran dan garis polar, dengan cara mensubstitusi nilai x ke persamaan lingkaran: x 2 + y 2 − 2 y − 1 ( − 3 y + 5 ) 2 + y 2 − 2 y − 1 9 y 2 − 30 y + 25 + y 2 − 2 y − 1 10 y 2 − 32 y + 24 5 y 2 − 16 y + 12 ( 5 y − 6 ) ( y − 2 ) = = = = = = 0 0 0 0 0 0 y = 5 6 atau y = 2 Substitusi nilai y ke persamaan polar y = 5 6 → y = 2 → x = − 3 y + 5 x = − 3 ( 5 6 ) + 5 x = − 5 18 + 5 x = 5 7 x = − 3 x + 5 x = − 3 ( 2 ) + 5 x = − 6 + 5 x = − 1 Didapat titik singgung lingkaran dengan garis polar adalah A ( 5 7 , 5 6 ) dan B ( − 1 , 2 ) . Diperoleh persamaan garis singgung lingkarannya: Untuk titik A ( 5 7 , 5 6 ) x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C 5 7 x + 5 6 ⋅ y + 2 0 ( 5 7 + x ) + 2 − 2 ( 5 6 + y ) + ( − 1 ) 5 7 x + 5 6 ⋅ y − 5 6 − y − 1 7 x + 6 y − 6 − 5 y − 5 7 x + y − 11 = = = = = 0 0 0 0 0 Untuk titik B ( − 1 , 2 ) . x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C ( − 1 ) x + 2 ⋅ y + 2 0 ( ( − 1 ) + x ) + 2 − 2 ( 2 + y ) + ( − 1 ) − x + 2 y − 2 − y − 1 − x + y − 3 = = = = 0 0 0 0 Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah 7 x + y − 11 = 0 dan − x + y − 3 = 0 .

Ingat kembali:

Persamaan garis polar pada lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah:

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C = 0$

Persamaan garis singgung pada lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$ pada titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah:

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C = 0$

Pada soal diketahui bahwa:

$x^{2} + y^{2} - 2 y x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = = 10 A = 0, B = - 2, C = - 1$

$R (1, 4) \to x_{1} = 1, y_{1} = 4$

Titik yang diberikan adalah $R (1, 4)$ yang berada di luar lingkaran, sehingga diperoleh persamaan garis polarnya,

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C 1 \cdot x + 4 \cdot y + \frac{0}{2} (1 + x) + \frac{- 2}{2} (4 + y) + (- 1) x + 4 y - 1 (4 + y) - 1 x + 4 y - 4 - y - 1 x + 3 y - 5 x = = = = = = 00000 - 3 y + 5$

Selanjutnya menentukan titik potong lingkaran dan garis polar, dengan cara mensubstitusi nilai $x$ ke persamaan lingkaran:

$x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 (- 3 y + 5)^{2} + y^{2} - 2 y - 1 9 y^{2} - 30 y + 25 + y^{2} - 2 y - 1 10 y^{2} - 32 y + 24 5 y^{2} - 16 y + 12 (5 y - 6) (y - 2) = = = = = = 000000 y = \frac{6}{5} atau y = 2$

Substitusi nilai $y$ ke persamaan polar

$y = \frac{6}{5} \to y = 2 \to x = - 3 y + 5 x = - 3 (\frac{6}{5}) + 5 x = - \frac{18}{5} + 5 x = \frac{7}{5} x = - 3 x + 5 x = - 3 (2) + 5 x = - 6 + 5 x = - 1$

Didapat titik singgung lingkaran dengan garis polar adalah $A (\frac{7}{5}, \frac{6}{5}) dan B (- 1, 2)$ .

Diperoleh persamaan garis singgung lingkarannya:

Untuk titik $A (\frac{7}{5}, \frac{6}{5})$

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C \frac{7}{5} x + \frac{6}{5} \cdot y + \frac{0}{2} (\frac{7}{5} + x) + \frac{- 2}{2} (\frac{6}{5} + y) + (- 1) \frac{7}{5} x + \frac{6}{5} \cdot y - \frac{6}{5} - y - 1 7 x + 6 y - 6 - 5 y - 5 7 x + y - 11 = = = = = 00000$

Untuk titik $B (- 1, 2)$ .

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C (- 1) x + 2 \cdot y + \frac{0}{2} ((- 1) + x) + \frac{- 2}{2} (2 + y) + (- 1) - x + 2 y - 2 - y - 1 - x + y - 3 = = = = 0000$

Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah $7 x + y - 11 = 0$ dan $- x + y - 3 = 0$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (6 rating)

Mikhayla Mika

Pembahasan lengkap banget Ini yang aku cari!

Mila Rosa Saragih

Bantu banget

Pertanyaan serupa

8a. Tentukan titik potong lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 3 = 0 terhadap sumbu X. 8b. Tentukan persamaan garis singgung di titik potong tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Garis x = 5 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0 di dua titik. b. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui masing-masing dua titik tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Tunjukkan bahwa garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 15 = 0 di titik-titik yang merupakan titik potong antara lingkaran tersebut dengan sumbu X akan berpotongan di titik ( 1 , − 8...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan: d. Lukiskan sketsa grafiknya.

4.5

Jawaban terverifikasi

Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan: d. Lukiskan sketsa grafiknya.

4.5

Jawaban terverifikasi