Pertanyaan

Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan: c. Persamaan garis singgung yang melalui titik A dan titik B.

Diberikan titik $R (1, 4)$ di luar lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 2 y = 1$ . Tentukan:

c. Persamaan garis singgung yang melalui titik A dan titik B.

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan garis singgungnya adalah 7 x + y − 11 = 0 dan − x + y − 3 = 0 .

persamaan garis singgungnya adalah

7 x + y - 11 = 0

dan

- x + y - 3 = 0

Pembahasan

Ingat kembali: Persamaan garis polar pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B x + C = 0 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C = 0 Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B x + C = 0 pada titik ( x 1 , y 1 ) adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C = 0 Pada soal diketahui bahwa: x 2 + y 2 − 2 y x 2 + y 2 − 2 y − 1 = = 1 0 A = 0 , B = − 2 , C = − 1 R ( 1 , 4 ) → x 1 = 1 , y 1 = 4 Titik yang diberikan adalah R ( 1 , 4 ) yang berada di luar lingkaran, sehingga diperoleh persamaan garis polarnya, x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C 1 ⋅ x + 4 ⋅ y + 2 0 ( 1 + x ) + 2 − 2 ( 4 + y ) + ( − 1 ) x + 4 y − 1 ( 4 + y ) − 1 x + 4 y − 4 − y − 1 x + 3 y − 5 x = = = = = = 0 0 0 0 0 − 3 y + 5 Selanjutnya menentukan titik potong lingkaran dan garis polar, dengan cara mensubstitusi nilai x ke persamaan lingkaran: x 2 + y 2 − 2 y − 1 ( − 3 y + 5 ) 2 + y 2 − 2 y − 1 9 y 2 − 30 y + 25 + y 2 − 2 y − 1 10 y 2 − 32 y + 24 5 y 2 − 16 y + 12 ( 5 y − 6 ) ( y − 2 ) = = = = = = 0 0 0 0 0 0 y = 5 6 atau y = 2 Substitusi nilai y ke persamaan polar y = 5 6 → y = 2 → x = − 3 y + 5 x = − 3 ( 5 6 ) + 5 x = − 5 18 + 5 x = 5 7 x = − 3 x + 5 x = − 3 ( 2 ) + 5 x = − 6 + 5 x = − 1 Didapat titik singgung lingkaran dengan garis polar adalah A ( 5 7 , 5 6 ) dan B ( − 1 , 2 ) . Diperoleh persamaan garis singgung lingkarannya: Untuk titik A ( 5 7 , 5 6 ) x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C 5 7 x + 5 6 ⋅ y + 2 0 ( 5 7 + x ) + 2 − 2 ( 5 6 + y ) + ( − 1 ) 5 7 x + 5 6 ⋅ y − 5 6 − y − 1 7 x + 6 y − 6 − 5 y − 5 7 x + y − 11 = = = = = 0 0 0 0 0 Untuk titik B ( − 1 , 2 ) . x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C ( − 1 ) x + 2 ⋅ y + 2 0 ( ( − 1 ) + x ) + 2 − 2 ( 2 + y ) + ( − 1 ) − x + 2 y − 2 − y − 1 − x + y − 3 = = = = 0 0 0 0 Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah 7 x + y − 11 = 0 dan − x + y − 3 = 0 .

Ingat kembali:

Persamaan garis polar pada lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah:

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C = 0$

Persamaan garis singgung pada lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$ pada titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah:

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C = 0$

Pada soal diketahui bahwa:

$x^{2} + y^{2} - 2 y x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = = 10 A = 0, B = - 2, C = - 1$

$R (1, 4) \to x_{1} = 1, y_{1} = 4$

Titik yang diberikan adalah $R (1, 4)$ yang berada di luar lingkaran, sehingga diperoleh persamaan garis polarnya,

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C 1 \cdot x + 4 \cdot y + \frac{0}{2} (1 + x) + \frac{- 2}{2} (4 + y) + (- 1) x + 4 y - 1 (4 + y) - 1 x + 4 y - 4 - y - 1 x + 3 y - 5 x = = = = = = 00000 - 3 y + 5$

Selanjutnya menentukan titik potong lingkaran dan garis polar, dengan cara mensubstitusi nilai $x$ ke persamaan lingkaran:

$x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 (- 3 y + 5)^{2} + y^{2} - 2 y - 1 9 y^{2} - 30 y + 25 + y^{2} - 2 y - 1 10 y^{2} - 32 y + 24 5 y^{2} - 16 y + 12 (5 y - 6) (y - 2) = = = = = = 000000 y = \frac{6}{5} atau y = 2$

Substitusi nilai $y$ ke persamaan polar

$y = \frac{6}{5} \to y = 2 \to x = - 3 y + 5 x = - 3 (\frac{6}{5}) + 5 x = - \frac{18}{5} + 5 x = \frac{7}{5} x = - 3 x + 5 x = - 3 (2) + 5 x = - 6 + 5 x = - 1$

Didapat titik singgung lingkaran dengan garis polar adalah $A (\frac{7}{5}, \frac{6}{5}) dan B (- 1, 2)$ .

Diperoleh persamaan garis singgung lingkarannya:

Untuk titik $A (\frac{7}{5}, \frac{6}{5})$

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C \frac{7}{5} x + \frac{6}{5} \cdot y + \frac{0}{2} (\frac{7}{5} + x) + \frac{- 2}{2} (\frac{6}{5} + y) + (- 1) \frac{7}{5} x + \frac{6}{5} \cdot y - \frac{6}{5} - y - 1 7 x + 6 y - 6 - 5 y - 5 7 x + y - 11 = = = = = 00000$

Untuk titik $B (- 1, 2)$ .

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C (- 1) x + 2 \cdot y + \frac{0}{2} ((- 1) + x) + \frac{- 2}{2} (2 + y) + (- 1) - x + 2 y - 2 - y - 1 - x + y - 3 = = = = 0000$

Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah $7 x + y - 11 = 0$ dan $- x + y - 3 = 0$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (4 rating)

Mikhayla Mika

Pembahasan lengkap banget Ini yang aku cari!

Mila Rosa Saragih

Bantu banget

Pertanyaan serupa

Garis x = 5 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0 di dua titik. b. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui masing-masing dua titik tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

8a. Tentukan titik potong lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 3 = 0 terhadap sumbu X. 8b. Tentukan persamaan garis singgung di titik potong tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Tunjukkan bahwa garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 15 = 0 di titik-titik yang merupakan titik potong antara lingkaran tersebut dengan sumbu X akan berpotongan di titik ( 1 , − 8...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan: d. Lukiskan sketsa grafiknya.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan: d. Lukiskan sketsa grafiknya.

5.0

Jawaban terverifikasi