Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan:
b. Panjang AB, jika A dan B titik potong garis polar dengan lingkaran.
Diberikan titik R(1,4) di luar lingkaran L≡x2+y2−2y=1. Tentukan:
b. Panjang AB, jika A dan B titik potong garis polar dengan lingkaran.
Iklan
EL
E. Lestari
Master Teacher
Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret
Jawaban terverifikasi
Jawaban
panjang AB adalah 5 4 10 satuan panjang .
panjang AB adalah 5410satuanpanjang.
Iklan
Pembahasan
Ingat kembali:
Persamaan garis polar pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B x + C = 0 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) adalah:
x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C = 0
Jarak antar dua titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 )
D = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2
Pada soal diketahui bahwa:
x 2 + y 2 − 2 y x 2 + y 2 − 2 y − 1 = = 1 0 A = 0 , B = − 2 , C = − 1
R ( 1 , 4 ) → x 1 = 1 , y 1 = 4
Titik yang diberikan adalah R ( 1 , 4 ) yang berada di luar lingkaran, sehingga diperoleh persamaan garis polarnya,
x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C 1 ⋅ x + 4 ⋅ y + 2 0 ( 1 + x ) + 2 − 2 ( 4 + y ) + ( − 1 ) x + 4 y − 1 ( 4 + y ) − 1 x + 4 y − 4 − y − 1 x + 3 y − 5 x = = = = = = 0 0 0 0 0 − 3 y + 5
Selanjutnya menentuykan titik potong lingkaran dan garis polar, dengan cara mensubstitusi nilai x ke persamaan lingkaran:
x 2 + y 2 − 2 y − 1 ( − 3 y + 5 ) 2 + y 2 − 2 y − 1 9 y 2 − 30 y + 25 + y 2 − 2 y − 1 10 y 2 − 32 y + 24 5 y 2 − 16 y + 12 ( 5 y − 6 ) ( y − 2 ) = = = = = = 0 0 0 0 0 0 y = 5 6 atau y = 2
Substitusi nilai y ke persamaan polar
y = 5 6 → y = 2 → x = − 3 y + 5 x = − 3 ( 5 6 ) + 5 x = − 5 18 + 5 x = 5 7 x = − 3 x + 5 x = − 3 ( 2 ) + 5 x = − 6 + 5 x = − 1
Diperoleh titik singgung lingkaran dengan garis polar adalah A ( 5 7 , 5 6 ) dan B ( − 1 , 2 ) .
Maka panjang AB adalah:
D = = = = = = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ( − 1 − 5 7 ) 2 + ( 2 − 5 6 ) 2 ( 5 − 5 − 7 ) 2 + ( 5 10 − 6 ) 2 25 144 + 25 16 25 160 5 4 10 satuan panjang
Dengan demikian, panjang AB adalah 5 4 10 satuan panjang .
Ingat kembali:
Persamaan garis polar pada lingkaran L≡x2+y2+Ax+Bx+C=0 yang melalui titik (x1,y1) adalah:
x1⋅x+y1⋅y+2A(x1+x)+2B(y1+y)+C=0
Jarak antar dua titik A(x1,y1)danB(x2,y2)
D=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Pada soal diketahui bahwa:
x2+y2−2yx2+y2−2y−1==10A=0,B=−2,C=−1
R(1,4)→x1=1,y1=4
Titik yang diberikan adalah R(1,4) yang berada di luar lingkaran, sehingga diperoleh persamaan garis polarnya,