Pertanyaan

Diberikan titik R ( 1 , 4 ) di luar lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 y = 1 . Tentukan: b. Panjang AB, jika A dan B titik potong garis polar dengan lingkaran.

Diberikan titik $R (1, 4)$ di luar lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 2 y = 1$ . Tentukan:

b. Panjang AB, jika A dan B titik potong garis polar dengan lingkaran.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

panjang AB adalah 5 4 10 satuan panjang .

panjang AB adalah

\frac{4}{5} 10 satuan panjang

Pembahasan

Ingat kembali: Persamaan garis polar pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B x + C = 0 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C = 0 Jarak antar dua titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) D = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 Pada soal diketahui bahwa: x 2 + y 2 − 2 y x 2 + y 2 − 2 y − 1 = = 1 0 A = 0 , B = − 2 , C = − 1 R ( 1 , 4 ) → x 1 = 1 , y 1 = 4 Titik yang diberikan adalah R ( 1 , 4 ) yang berada di luar lingkaran, sehingga diperoleh persamaan garis polarnya, x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C 1 ⋅ x + 4 ⋅ y + 2 0 ( 1 + x ) + 2 − 2 ( 4 + y ) + ( − 1 ) x + 4 y − 1 ( 4 + y ) − 1 x + 4 y − 4 − y − 1 x + 3 y − 5 x = = = = = = 0 0 0 0 0 − 3 y + 5 Selanjutnya menentuykan titik potong lingkaran dan garis polar, dengan cara mensubstitusi nilai x ke persamaan lingkaran: x 2 + y 2 − 2 y − 1 ( − 3 y + 5 ) 2 + y 2 − 2 y − 1 9 y 2 − 30 y + 25 + y 2 − 2 y − 1 10 y 2 − 32 y + 24 5 y 2 − 16 y + 12 ( 5 y − 6 ) ( y − 2 ) = = = = = = 0 0 0 0 0 0 y = 5 6 atau y = 2 Substitusi nilai y ke persamaan polar y = 5 6 → y = 2 → x = − 3 y + 5 x = − 3 ( 5 6 ) + 5 x = − 5 18 + 5 x = 5 7 x = − 3 x + 5 x = − 3 ( 2 ) + 5 x = − 6 + 5 x = − 1 Diperoleh titik singgung lingkaran dengan garis polar adalah A ( 5 7 , 5 6 ) dan B ( − 1 , 2 ) . Maka panjang AB adalah: D = = = = = = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ( − 1 − 5 7 ) 2 + ( 2 − 5 6 ) 2 ( 5 − 5 − 7 ) 2 + ( 5 10 − 6 ) 2 25 144 + 25 16 25 160 5 4 10 satuan panjang Dengan demikian, panjang AB adalah 5 4 10 satuan panjang .

Ingat kembali:

Persamaan garis polar pada lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah:

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C = 0$

Jarak antar dua titik $A (x_{1}, y_{1}) dan B (x_{2}, y_{2})$

$D = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Pada soal diketahui bahwa:

$x^{2} + y^{2} - 2 y x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = = 10 A = 0, B = - 2, C = - 1$

$R (1, 4) \to x_{1} = 1, y_{1} = 4$

Titik yang diberikan adalah $R (1, 4)$ yang berada di luar lingkaran, sehingga diperoleh persamaan garis polarnya,

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C 1 \cdot x + 4 \cdot y + \frac{0}{2} (1 + x) + \frac{- 2}{2} (4 + y) + (- 1) x + 4 y - 1 (4 + y) - 1 x + 4 y - 4 - y - 1 x + 3 y - 5 x = = = = = = 00000 - 3 y + 5$

Selanjutnya menentuykan titik potong lingkaran dan garis polar, dengan cara mensubstitusi nilai $x$ ke persamaan lingkaran:

$x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 (- 3 y + 5)^{2} + y^{2} - 2 y - 1 9 y^{2} - 30 y + 25 + y^{2} - 2 y - 1 10 y^{2} - 32 y + 24 5 y^{2} - 16 y + 12 (5 y - 6) (y - 2) = = = = = = 000000 y = \frac{6}{5} atau y = 2$

Substitusi nilai $y$ ke persamaan polar

$y = \frac{6}{5} \to y = 2 \to x = - 3 y + 5 x = - 3 (\frac{6}{5}) + 5 x = - \frac{18}{5} + 5 x = \frac{7}{5} x = - 3 x + 5 x = - 3 (2) + 5 x = - 6 + 5 x = - 1$

Diperoleh titik singgung lingkaran dengan garis polar adalah $A (\frac{7}{5}, \frac{6}{5}) dan B (- 1, 2)$ .

Maka panjang AB adalah:

$D = = = = = = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} (- 1 - \frac{7}{5})^{2} + (2 - \frac{6}{5})^{2} (\frac{- 5 - 7}{5})^{2} + (\frac{10 - 6}{5})^{2} \frac{144}{25} + \frac{16}{25} \frac{160}{25} \frac{4}{5} 10 satuan panjang$

Dengan demikian, panjang AB adalah $\frac{4}{5} 10 satuan panjang$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.8 (6 rating)

Mikhayla Mika

Pembahasan lengkap banget Ini yang aku cari!

Pertanyaan serupa

Carilah koordinat titik potong lingkaran x 2 + y 2 = 100 dengan masing-masing garis berikut, kemudian hitunglah jarak kedua titik tersebut. b. x = − 8

5.0

Jawaban terverifikasi

Carilah koordinat titik potong lingkaran x 2 + y 2 = 100 dengan masing-masing garis berikut, kemudian hitunglah jarak kedua titik tersebut. c. y = − 6

0.0

Jawaban terverifikasi

Carilah koordinat titik potong lingkaran x 2 + y 2 = 100 dengan masing-masing garis berikut, kemudian hitunglah jarak kedua titik tersebut. d. x = 0

0.0

Jawaban terverifikasi

Garis x = 2 y + 4 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 6 y − 16 = 0 . Panjang segmen dari garis yang terletak di dalam lingkaran itu adalah ...

4.6

Jawaban terverifikasi

Carilah koordinat titik potong lingkaran x 2 + y 2 = 100 dengan masing-masing garis berikut, kemudian hitunglah jarak kedua titik tersebut. a. y = 8

5.0

Jawaban terverifikasi