Roboguru

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x2+1,y=2x+1, dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-y, maka volume dari benda yang akan terbentuk adalah … satuan volume.

Pertanyaan

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh kurva Error converting from MathML to accessible text. dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh undefined mengelilingi sumbu-undefined, maka volume dari benda yang akan terbentuk adalah … satuan volume.

  1. undefined 

  2. begin mathsize 14px style italic pi over 3 end style 

  3. begin mathsize 14px style italic pi over 6 end style 

  4. begin mathsize 14px style fraction numerator 28 italic pi over denominator 3 end fraction end style 

  5. begin mathsize 14px style fraction numerator 888 italic pi over denominator 3 end fraction end style 

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

Diketahui suatu daerah yang dibatasi oleh kurva Error converting from MathML to accessible text. dan berada pada kuadran I.

Pertama, akan ditentukan interval daerahnya.

Misal begin mathsize 14px style y subscript 1 equals 2 x squared plus 1 end style dan begin mathsize 14px style y subscript 2 equals 2 x plus 1 end style. Titik potong dari kedua kurva dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

begin mathsize 14px style y subscript 1 equals y subscript 2 2 x squared plus 1 equals 2 x plus 1 2 x squared minus 2 x equals 0 2 x left parenthesis x minus 1 right parenthesis equals 0 x equals 0 blank text atau end text blank x equals 1 end style 

Didapat interval dari daerah antara kedua kurva tersebut adalah Error converting from MathML to accessible text. 

Selanjutnya, perhatikan bahwa sumbu putar adalah sumbu-undefined. Interval yang didapat dalam variabel undefined. Dengan kata lain, interval akan diubah ke dalam undefined dengan cara mensubtitusikan batas yang sudah didapat ke dalam fungsi yang manapun.

Perhatikan bahwa pada begin mathsize 14px style 0 less or equal than italic x less or equal than 1 end style, batas bawah interval adalah begin mathsize 14px style 0 end style, dan batas atasnya adalah begin mathsize 14px style 1 end style.

Substitusi begin mathsize 14px style italic x equals 0 end style ke begin mathsize 14px style italic y subscript 1 equals 2 italic x squared plus 1 end style, didapat hasil sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y subscript 1 end cell equals cell 2 times 0 squared plus 1 end cell row blank equals 1 end table end style 

Kemudian, substitusi begin mathsize 14px style italic x equals 1 end style ke undefined didapat hasil sebagai berikut.

 begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y subscript 2 end cell equals cell 2 times 1 plus 1 end cell row blank equals 3 end table end style 

Akibatnya, didapat interval daerah barunya adalah undefined. Interval inilah yang akan dipakai untuk menghitung volume benda putar tersebut.

Kemudian, bentuk begin mathsize 14px style italic f open parentheses italic x close parentheses equals italic y end style akan diubah menjadi begin mathsize 14px style italic f open parentheses italic y close parentheses equals italic x end style. Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 2 x squared plus 1 end cell row cell fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end cell equals cell x squared end cell row cell plus-or-minus square root of fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end root end cell equals x end table end style 

Karena daerahnya dibatasi oleh kuadran I, maka diambil begin mathsize 14px style x equals square root of fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end root end style.

Lalu, perhatikan juga bahwa 

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 2 x plus 1 end cell row cell fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end cell equals x end table end style 

Kemudian, perhatikan bahwa jika kedua kurva tersebut diputar sejauh undefined mengelilingi sumbu-undefined maka volume yang paling besar adalah milik begin mathsize 14px style italic x equals square root of fraction numerator italic y minus sign 1 over denominator 2 end fraction end root end style dan yang paling kecil adalah milik undefined.  Sehingga, volume dari daerah di antara kedua kurva adalah

begin mathsize 14px style V equals pi integral subscript 1 superscript 3 open parentheses open parentheses f left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d y end style

dengan begin mathsize 14px style f left parenthesis y right parenthesis equals square root of fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end root end style dan begin mathsize 14px style g left parenthesis y right parenthesis equals fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end style.

Perhatikan perhitungan berikut ini!

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell pi integral subscript 1 superscript 3 open parentheses open parentheses f left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 1 superscript 3 open parentheses open parentheses square root of fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end root close parentheses squared minus open parentheses fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 1 superscript 3 open parentheses fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction minus open parentheses y minus 1 close parentheses to the power of 4 over 4 close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi over 4 integral subscript 1 superscript 3 open parentheses 2 open parentheses y minus 1 close parentheses minus open parentheses y minus 1 close parentheses to the power of 4 close parentheses space d y end cell end table end style

Dengan metode substitusi begin mathsize 14px style italic u equals italic y minus sign 1 end style, didapat

begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi over 4 integral subscript 1 superscript 3 2 open parentheses y minus 1 close parentheses minus open parentheses y minus 1 close parentheses cubed space d y end cell row blank equals cell straight pi over 4 open square brackets 2 over 2 open parentheses y minus 1 close parentheses squared minus 1 third open parentheses y minus 1 close parentheses cubed close square brackets subscript 1 superscript 3 end cell row blank equals cell straight pi over 4 open square brackets open parentheses y minus 1 close parentheses squared minus 1 third open parentheses y minus 1 close parentheses cubed close square brackets subscript 1 superscript 3 end cell row blank equals cell straight pi over 4 open parentheses open parentheses 3 minus 1 close parentheses squared minus 1 third open parentheses 3 minus 1 close parentheses cubed minus open parentheses open parentheses 1 minus 1 close parentheses minus 1 third open parentheses 1 minus 1 close parentheses cubed close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell straight pi over 4 open parentheses 2 squared minus 1 third times 2 cubed minus open parentheses 0 minus 1 third times 0 cubed close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell straight pi over 4 open parentheses 4 minus 8 over 3 minus 0 close parentheses end cell row blank equals cell straight pi over 4 open parentheses 4 over 3 close parentheses end cell row blank equals cell straight pi over 3 end cell end table end style

Jadi, jawabannya adalah B.

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

Terakhir diupdate 05 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan serupa

Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y=2x2, y=5x2, dan garis y=3. Jika daerah tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-y, maka volume dari benda yang terbentuk adalah … ...

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved