Pertanyaan

Diberikan suatu daerahyang dibatasi oleh kurva y = 2 x 2 + 1 , y = 2 x + 1 , dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelilingi sumbu- y , maka volume dari benda yang akan terbentukadalah … satuan volume.

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 2 x^{2} + 1, y = 2 x + 1,$ dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh $36 0^{\circ}$ mengelilingi sumbu- $y$ , maka volume dari benda yang akan terbentuk adalah … satuan volume.

$begin mathsize 14px style fraction numerator 28 italic pi over denominator 3 end fraction end style$
$begin mathsize 14px style fraction numerator 888 italic pi over denominator 3 end fraction end style$

R. RGFLLIMA

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawabannya adalah B.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini! Diketahuisuatu daerahyang dibatasi oleh kurva dan berada pada kuadran I. Pertama, akan ditentukan interval daerahnya. Misal dan . Titik potong dari kedua kurva dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Didapat interval dari daerah antara kedua kurva tersebut adalah Selanjutnya, perhatikan bahwa sumbu putar adalah sumbu- . Interval yang didapat dalam variabel . Dengan kata lain, interval akan diubah ke dalam dengan cara mensubtitusikan batas yang sudah didapat ke dalam fungsi yang manapun. Perhatikan bahwa pada , batas bawah interval adalah , dan batas atasnya adalah . Substitusi ke , didapat hasil sebagai berikut. Kemudian,substitusi ke didapat hasil sebagai berikut. Akibatnya,didapat interval daerah barunya adalah .Interval inilah yang akan dipakai untuk menghitung volume benda putar tersebut. Kemudian, bentuk akan diubah menjadi . Perhatikan bahwa Karena daerahnya dibatasi oleh kuadran I, maka diambil . Lalu, perhatikan juga bahwa Kemudian, perhatikan bahwa jika kedua kurva tersebut diputar sejauh mengelilingi sumbu- maka volume yang paling besar adalah milik dan yang paling kecil adalah milik . Sehingga, volume dari daerah di antara kedua kurva adalah dengan dan . Perhatikan perhitungan berikut ini! Dengan metode substitusi , didapat Jadi, jawabannya adalah B.

Perhatikan gambar berikut ini!

Diketahui suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan berada pada kuadran I.

Pertama, akan ditentukan interval daerahnya.

Misal dan . Titik potong dari kedua kurva dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

begin mathsize 14px style y subscript 1 equals y subscript 2 2 x squared plus 1 equals 2 x plus 1 2 x squared minus 2 x equals 0 2 x left parenthesis x minus 1 right parenthesis equals 0 x equals 0 blank text atau end text blank x equals 1 end style

Didapat interval dari daerah antara kedua kurva tersebut adalah

Selanjutnya, perhatikan bahwa sumbu putar adalah sumbu-. Interval yang didapat dalam variabel . Dengan kata lain, interval akan diubah ke dalam dengan cara mensubtitusikan batas yang sudah didapat ke dalam fungsi yang manapun.

Perhatikan bahwa pada , batas bawah interval adalah , dan batas atasnya adalah .

Substitusi ke , didapat hasil sebagai berikut.

Kemudian, substitusi ke didapat hasil sebagai berikut.

Akibatnya, didapat interval daerah barunya adalah . Interval inilah yang akan dipakai untuk menghitung volume benda putar tersebut.

Kemudian, bentuk akan diubah menjadi . Perhatikan bahwa

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 2 x squared plus 1 end cell row cell fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end cell equals cell x squared end cell row cell plus-or-minus square root of fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end root end cell equals x end table end style$

Karena daerahnya dibatasi oleh kuadran I, maka diambil $begin mathsize 14px style x equals square root of fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end root end style$ .

Lalu, perhatikan juga bahwa

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 2 x plus 1 end cell row cell fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end cell equals x end table end style$

Kemudian, perhatikan bahwa jika kedua kurva tersebut diputar sejauh mengelilingi sumbu- maka volume yang paling besar adalah milik $begin mathsize 14px style italic x equals square root of fraction numerator italic y minus sign 1 over denominator 2 end fraction end root end style$ dan yang paling kecil adalah milik . Sehingga, volume dari daerah di antara kedua kurva adalah

dengan $begin mathsize 14px style f left parenthesis y right parenthesis equals square root of fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end root end style$ dan $begin mathsize 14px style g left parenthesis y right parenthesis equals fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end style$ .

Perhatikan perhitungan berikut ini!

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell pi integral subscript 1 superscript 3 open parentheses open parentheses f left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 1 superscript 3 open parentheses open parentheses square root of fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction end root close parentheses squared minus open parentheses fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 1 superscript 3 open parentheses fraction numerator y minus 1 over denominator 2 end fraction minus open parentheses y minus 1 close parentheses to the power of 4 over 4 close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi over 4 integral subscript 1 superscript 3 open parentheses 2 open parentheses y minus 1 close parentheses minus open parentheses y minus 1 close parentheses to the power of 4 close parentheses space d y end cell end table end style$

Dengan metode substitusi , didapat

Jadi, jawabannya adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 2 x 2 , y = 5 x 2 , dan garis y = 3 . Jika daerah tersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelilingi sumbu- y , maka volume dari benda yang te...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 2 x 2 − 1 , garis x = 1 , dan garis y = 1 . Jika daerahtersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelilingi sumbu- , maka volume dari benda yang...

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar berikut ini! Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = − 2 1 x 2 + 8 denganinterval pada sumbu- x yang diketahui adalah 1 ≤ x ≤ 2 . Jika daerah tersebu...

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar di bawah ini! Diberikan suatu daerah di kuadran Iyang dibatasi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 20 , kurva x = y 2 , dan sumbu- y . Jika benda tersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelil...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan suatu benda yang dibatasi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 36 , kurva x = 2 y 2 , sumbu y , dan berada pada kuadran I. Jika benda tersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelilingi sumbu , maka volume ...

106

0.0

Jawaban terverifikasi