Diberikan suatu benda yang dibatasi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 36 , kurva x = 2 ​ y 2 , sumbu y , dan berada pada kuadran I. Jika benda tersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelilingi sumbu , maka volume dari benda tersebut adalah … satuan volume.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini! Diketahui benda tersebut dibatasi oleh lingkaran kurva , sumbu , dan berada pada kuadran I. Jika benda tersebut diputar mengelilingi sumbu maka akan terbentuk dua benda putar. Benda pertama dibatasi oleh perpotongan kurva dan lingkaran, dan benda kedua dibatasi oleh lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut ini. Sehingga akan ditentukan interval daerah dari benda I terlebih dahulu dengan cara mencari titik potong dari lingkaran dan kurva. Perhatikan bahwa batas bawah benda I adalah . Perhatikan kurva . Kuadratkan kedua ruas, didapat . Kemudian, substitusikan ke persamaan lingkaran , diperoleh Perhatikan bahwa memiliki nilai diskriminan yang positif, sehingga tidak ada nilai bilangan real yang memenuhi persamaan . Sehingga solusi real yang dipakai adalah . Namun, berada pada kuadran IV, sehingga dipakai yang berada pada kuadran I. Maka interval dari benda I adalah Kemudian, akan dicari interval daerah dari benda II. Perhatikan bahwa batas bawahnya adalah titik potong kurva dengan lingkaran, yang sudah didapat sebelumnya, yaitu . Batas atasnya adalah jari-jari dari lingkaran . Maka batas atasnya adalah . Diperoleh interval daerah dari benda II adalah . Selanjutnya, bentuk akan diubah menjadi bentuk . Untuk kurva sudah merupakan fungsi dalam . Untuk lingkaran perhatikan bahwa Sehingga, volume dari benda yang dimaksud adalah penjumlahan dari volume benda I dan II, atau dengan Perhatikan perhitungan berikut. Jadi, jawabannya adalah D.