Pertanyaan

Diberikan dua lingkaran berikut! L 1 ≡ x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 dan L 2 ≡ x 2 + y 2 + b x + a y + c = 0 Buktikan bahwa panjang tali busur kedua lingkaran L 1 dan L 2 yang saling berpotongan adalah 2 1 ( a − b ) 2 − 4 a c .

Diberikan dua lingkaran berikut!

$L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 dan L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + b x + a y + c = 0$

Buktikan bahwa panjang tali busur kedua lingkaran $L_{1}$ dan $L_{2}$ yang saling berpotongan adalah $\frac{1}{2} (a - b)^{2} - 4 a c$ .

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwapanjang tali busur kedua lingkaran L 1 dan L 2 yang saling berpotongan adalah 2 1 ( a − b ) 2 − 4 a c .

terbukti bahwa panjang tali busur kedua lingkaran

L_{1}

dan

L_{2}

yang saling berpotongan adalah

\frac{1}{2} (a - b)^{2} - 4 a c

Pembahasan

Langkah pertama cari persamaan tali busur. Persamaan garis tali busur L 1 dan L 2 dapat dicari dengan cara L 1 − L 2 = 0 , sehingga diperoleh a x − b x + b y − a y = 0 ⇒ ( a − b ) x + ( b − a ) y = 0 Langkah kedua cari titik pusat dan jari-jari dari salah satu lingkaran, yaitu: x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 . Pusat ( − 2 a , − 2 b ) dan jari-jari ( r ) = ( − 2 a ) 2 + ( − 2 b ) 2 − c = 4 a 2 + b 2 − 4 c Langkah ketiga cari jarak dari salah satu pusat ke persamaan tali busur d = = = = = ∣ ∣ ( a − b ) 2 + ( b − a ) 2 ( a − b ) ( − 2 a ) + ( b − a ) ( − 2 b ) − 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 a 2 − 4 ab + 2 b 2 2 − a 2 + ab + 2 − b 2 + ab ∣ ∣ ∣ ∣ 2 ( a − b ) 2 2 − ( a 2 − 2 ab + b 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 1 2 ( a − b ) ∣ ∣ 4 1 2 ( a − b ) Langkah keempat cari panjang tali busur dengan menggunakan teorema Phytagoras. x 2 x = = = = = = = = = = r 2 − d 2 ( 4 a 2 + b 2 − 4 c ) 2 − ( 4 2 ( a − b ) ) 2 4 a 2 + b 2 − 4 c − 16 ( 2 a 2 − 4 ab + 2 b 2 ) 16 4 a 2 + 4 b 2 − 16 c − 2 a 2 + 4 ab − 2 b 2 16 2 a 2 + 4 ab − 2 b 2 − c 16 2 ( a − b ) 2 − c 8 ( a − b ) 2 − c 4 ( 8 ( a − b ) 2 − c ) 2 ( a − b ) 2 − 4 c 2 1 ( a − b ) 2 − 4 c Dengan demikian, terbukti bahwapanjang tali busur kedua lingkaran L 1 dan L 2 yang saling berpotongan adalah 2 1 ( a − b ) 2 − 4 a c .

Langkah pertama cari persamaan tali busur. Persamaan garis tali busur $L_{1} dan L_{2}$ dapat dicari dengan cara $L_{1} - L_{2} = 0$ , sehingga diperoleh $a x - b x + b y - a y = 0 \Rightarrow (a - b) x + (b - a) y = 0$

Langkah kedua cari titik pusat dan jari-jari dari salah satu lingkaran, yaitu: $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ .

Pusat $(- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2})$ dan jari-jari $(r) = (- \frac{a}{2})^{2} + (- \frac{b}{2})^{2} - c = \frac{a ^{2} + b ^{2} - 4 c}{4}$

Langkah ketiga cari jarak dari salah satu pusat ke persamaan tali busur

$d = = = = = ∣ ∣ \frac{( a - b ) ( - \frac{a}{2} ) + ( b - a ) ( - \frac{b}{2} ) - 0}{( a - b ) ^{2} + ( b - a ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{\frac{- a ^{2} + ab}{2} + \frac{- b ^{2} + ab}{2}}{2 a ^{2} - 4 ab + 2 b ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{\frac{- ( a ^{2} - 2 ab + b ^{2} )}{2}}{2 ( a - b ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ - \frac{1}{4} 2 (a - b) ∣ ∣ \frac{1}{4} 2 (a - b)$

Langkah keempat cari panjang tali busur dengan menggunakan teorema Phytagoras.

$x 2 x = = = = = = = = = = r^{2} - d^{2} (\frac{a ^{2} + b ^{2} - 4 c}{4})^{2} - (\frac{2 ( a - b )}{4})^{2} \frac{a ^{2} + b ^{2} - 4 c}{4} - \frac{( 2 a ^{2} - 4 ab + 2 b ^{2} )}{16} \frac{4 a ^{2} + 4 b ^{2} - 16 c - 2 a ^{2} + 4 ab - 2 b ^{2}}{16} \frac{2 a ^{2} + 4 ab - 2 b ^{2}}{16} - c \frac{2 ( a - b ) ^{2}}{16} - c \frac{( a - b ) ^{2}}{8} - c 4 (\frac{( a - b ) ^{2}}{8} - c) \frac{( a - b ) ^{2}}{2} - 4 c \frac{1}{2} (a - b)^{2} - 4 c$

Dengan demikian, terbukti bahwa panjang tali busur kedua lingkaran $L_{1}$ dan $L_{2}$ yang saling berpotongan adalah $\frac{1}{2} (a - b)^{2} - 4 a c$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diberikan dua persamaan lingkaran sebagai berikut. L 1 : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 1 = 0 L 2 : x 2 + y 2 − 10 x − 12 y + 47 = 0 Panjang tali busur persekutuan kedua lingkaran tersebut adalah …...

0.0

Jawaban terverifikasi

Jari-jari dua lingkaran L 1 dan L 2 yangberpotongan berturut-turut 10 cm dan 17 cm .Jika jarak sentralnya 21 cm ,hitunglahpanjang tali busur sekutunya.

0.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan tali busur dan panjang tali busur dari lingkaran di bawah ini. L 1 L 2 = = x 2 + y 2 + 2 x + 3 y + 1 = 0 x 2 + y 2 + 4 x + 3 y + 2 = 0

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Jari-jari dua lingkaran L 1 dan L 2 yangberpotongan berturut-turut 10 cm dan 17 cm .Jika jarak sentralnya 21 cm ,hitunglahpanjang tali busur sekutunya.

0.0

Jawaban terverifikasi