Pertanyaan

Diberikan dua lingkaran berikut! L 1 ≡ x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 dan L 2 ≡ x 2 + y 2 + b x + a y + c = 0 Buktikan bahwa panjang tali busur kedua lingkaran L 1 dan L 2 yang saling berpotongan adalah 2 1 ( a − b ) 2 − 4 a c .

Diberikan dua lingkaran berikut!

$L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 dan L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + b x + a y + c = 0$

Buktikan bahwa panjang tali busur kedua lingkaran $L_{1}$ dan $L_{2}$ yang saling berpotongan adalah $\frac{1}{2} (a - b)^{2} - 4 a c$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwapanjang tali busur kedua lingkaran L 1 dan L 2 yang saling berpotongan adalah 2 1 ( a − b ) 2 − 4 a c .

terbukti bahwa panjang tali busur kedua lingkaran

L_{1}

dan

L_{2}

yang saling berpotongan adalah

\frac{1}{2} (a - b)^{2} - 4 a c

Pembahasan

Langkah pertama cari persamaan tali busur. Persamaan garis tali busur L 1 dan L 2 dapat dicari dengan cara L 1 − L 2 = 0 , sehingga diperoleh a x − b x + b y − a y = 0 ⇒ ( a − b ) x + ( b − a ) y = 0 Langkah kedua cari titik pusat dan jari-jari dari salah satu lingkaran, yaitu: x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 . Pusat ( − 2 a , − 2 b ) dan jari-jari ( r ) = ( − 2 a ) 2 + ( − 2 b ) 2 − c = 4 a 2 + b 2 − 4 c Langkah ketiga cari jarak dari salah satu pusat ke persamaan tali busur d = = = = = ∣ ∣ ( a − b ) 2 + ( b − a ) 2 ( a − b ) ( − 2 a ) + ( b − a ) ( − 2 b ) − 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 a 2 − 4 ab + 2 b 2 2 − a 2 + ab + 2 − b 2 + ab ∣ ∣ ∣ ∣ 2 ( a − b ) 2 2 − ( a 2 − 2 ab + b 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣ − 4 1 2 ( a − b ) ∣ ∣ 4 1 2 ( a − b ) Langkah keempat cari panjang tali busur dengan menggunakan teorema Phytagoras. x 2 x = = = = = = = = = = r 2 − d 2 ( 4 a 2 + b 2 − 4 c ) 2 − ( 4 2 ( a − b ) ) 2 4 a 2 + b 2 − 4 c − 16 ( 2 a 2 − 4 ab + 2 b 2 ) 16 4 a 2 + 4 b 2 − 16 c − 2 a 2 + 4 ab − 2 b 2 16 2 a 2 + 4 ab − 2 b 2 − c 16 2 ( a − b ) 2 − c 8 ( a − b ) 2 − c 4 ( 8 ( a − b ) 2 − c ) 2 ( a − b ) 2 − 4 c 2 1 ( a − b ) 2 − 4 c Dengan demikian, terbukti bahwapanjang tali busur kedua lingkaran L 1 dan L 2 yang saling berpotongan adalah 2 1 ( a − b ) 2 − 4 a c .

Langkah pertama cari persamaan tali busur. Persamaan garis tali busur $L_{1} dan L_{2}$ dapat dicari dengan cara $L_{1} - L_{2} = 0$ , sehingga diperoleh $a x - b x + b y - a y = 0 \Rightarrow (a - b) x + (b - a) y = 0$

Langkah kedua cari titik pusat dan jari-jari dari salah satu lingkaran, yaitu: $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ .

Pusat $(- \frac{a}{2}, - \frac{b}{2})$ dan jari-jari $(r) = (- \frac{a}{2})^{2} + (- \frac{b}{2})^{2} - c = \frac{a ^{2} + b ^{2} - 4 c}{4}$

Langkah ketiga cari jarak dari salah satu pusat ke persamaan tali busur

$d = = = = = ∣ ∣ \frac{( a - b ) ( - \frac{a}{2} ) + ( b - a ) ( - \frac{b}{2} ) - 0}{( a - b ) ^{2} + ( b - a ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{\frac{- a ^{2} + ab}{2} + \frac{- b ^{2} + ab}{2}}{2 a ^{2} - 4 ab + 2 b ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{\frac{- ( a ^{2} - 2 ab + b ^{2} )}{2}}{2 ( a - b ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ - \frac{1}{4} 2 (a - b) ∣ ∣ \frac{1}{4} 2 (a - b)$

Langkah keempat cari panjang tali busur dengan menggunakan teorema Phytagoras.

$x 2 x = = = = = = = = = = r^{2} - d^{2} (\frac{a ^{2} + b ^{2} - 4 c}{4})^{2} - (\frac{2 ( a - b )}{4})^{2} \frac{a ^{2} + b ^{2} - 4 c}{4} - \frac{( 2 a ^{2} - 4 ab + 2 b ^{2} )}{16} \frac{4 a ^{2} + 4 b ^{2} - 16 c - 2 a ^{2} + 4 ab - 2 b ^{2}}{16} \frac{2 a ^{2} + 4 ab - 2 b ^{2}}{16} - c \frac{2 ( a - b ) ^{2}}{16} - c \frac{( a - b ) ^{2}}{8} - c 4 (\frac{( a - b ) ^{2}}{8} - c) \frac{( a - b ) ^{2}}{2} - 4 c \frac{1}{2} (a - b)^{2} - 4 c$

Dengan demikian, terbukti bahwa panjang tali busur kedua lingkaran $L_{1}$ dan $L_{2}$ yang saling berpotongan adalah $\frac{1}{2} (a - b)^{2} - 4 a c$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diberikan dua persamaan lingkaran sebagai berikut. L 1 : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 1 = 0 L 2 : x 2 + y 2 − 10 x − 12 y + 47 = 0 Panjang tali busur persekutuan kedua lingkaran tersebut adalah …...

0.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan tali busur dan panjang tali busur dari lingkaran di bawah ini. L 1 L 2 = = x 2 + y 2 + 2 x + 3 y + 1 = 0 x 2 + y 2 + 4 x + 3 y + 2 = 0

5.0

Jawaban terverifikasi

Jari-jari dua lingkaran L 1 dan L 2 yangberpotongan berturut-turut 10 cm dan 17 cm .Jika jarak sentralnya 21 cm ,hitunglahpanjang tali busur sekutunya.

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Jari-jari dua lingkaran L 1 dan L 2 yangberpotongan berturut-turut 10 cm dan 17 cm .Jika jarak sentralnya 21 cm ,hitunglahpanjang tali busur sekutunya.

0.0

Jawaban terverifikasi