Pertanyaan

Di antara empat lingkaran berikut ini, lingkaran yang saling tegak lurus adalah .... L 1 : x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 4 = 0 L 2 : x 2 + y 2 − 8 x − 10 y + 32 = 0 L 3 : x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 L 4 : x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 4 = 0

Di antara empat lingkaran berikut ini, lingkaran yang saling tegak lurus adalah ....

$L_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 4 = 0 L_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y + 32 = 0 L_{3} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0 L_{4} : x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 4 = 0$

$L_{4} dan L_{3}$
$L_{2} dan L_{3}$
$L_{2} dan L_{4}$
$L_{1} dan L_{3}$
$L_{1} dan L_{4}$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

Z. Apriani

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Institut Teknologi Bandung

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D. Ingat bahwa dua lingkaran yang berpotongan, maka jarak kedua titik pusat L 1 L 2 dapat diperoleh dengan rumus berikut: L 1 L 2 = ( a 1 − a 2 ) 2 + ( b 1 + b 2 ) 2 Sudut antara dua lingkaran berpotongan tegak lurusdapat diperiksa sebagai berikut: L 1 L 2 2 = r 1 2 + r 2 2 Ingat pula bentuk persamaan lingkaran dengan jari-jari r dan titik pusat di P ( a , b ) berikut: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Diketahui: L 1 : x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 4 = 0 . L 2 : x 2 + y 2 − 8 x − 10 y + 32 = 0 . L 3 : x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 . L 4 : x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 4 = 0 . Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka persoalan tersebut adalah sebagai berikut: Jari-jari dan titik pusat lingkaran L 1 : x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 4 = 0 sebagai berikut: x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 4 x 2 + 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 − 1 ( x + 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 − 1 ( x + 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = = = = 0 0 0 1 Maka jari-jari L 1 dan titik pusatnya berturut-turut adalah 1 dan P 1 ( − 2 , − 1 ) . Jari-jari dan titik pusat lingkaran L 2 : x 2 + y 2 − 8 x − 10 y + 32 = 0 sebagai berikut: x 2 + y 2 − 8 x − 10 y + 32 x 2 − 8 x + 16 − 16 + y 2 − 10 y + 25 − 25 + 32 ( x − 4 ) 2 + ( y − 5 ) 2 − 41 + 32 ( x − 4 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = = = = 0 0 0 9 Maka jari-jari L 2 dan titik pusatnya berturut-turut adalah 3 dan P 2 ( 4 , 5 ) . Jari-jari dan titik pusat lingkaran L 3 : x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 sebagai berikut: x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 x 2 − 6 x + 9 − 9 + y 2 + 4 y + 4 − 4 − 12 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 − 13 − 12 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = = = = 0 0 0 25 Maka jari-jari L 3 dan titik pusatnya berturut-turut adalah 5 dan P 3 ( 3 , − 2 ) . Jari-jari dan titik pusat lingkaran L 4 : x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 4 = 0 sebagai berikut: x 2 + y 2 + 6 x − 4 y + 4 x 2 + 6 x + 9 − 9 + y 2 − 4 y + 4 ( x + 3 ) 2 + ( y − 2 ) 2 − 9 ( x + 3 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = = = = 0 0 0 9 Maka jari-jari L 4 dan titik pusatnya berturut-turut adalah 3 dan P 4 ( − 3 , 2 ) . Sehingga hubungan-hubungan antar dua lingkaran dapat dicari sebagai berikut: Hubungan L 4 L 3 sebagai berikut: L 4 L 3 L 4 L 3 = = = = = ( − 3 − 3 ) 2 + ( 2 + 2 ) 2 ( − 6 ) 2 + ( 4 ) 2 36 + 16 52 2 13 Periksa antara L 4 dan L 3 sebagai berikut: L 4 L 3 2 ( 2 13 ) 2 52 52 = = =  = r 4 2 + r 3 2 3 2 + 5 2 9 + 25 34 Hubungan L 2 L 3 sebagai berikut: L 2 L 3 L 2 L 3 = = = = = ( 4 − 3 ) 2 + ( 5 + 2 ) 2 ( 1 ) 2 + ( 7 ) 2 1 + 49 50 5 2 Periksa antara L 2 dan L 3 sebagai berikut: L 2 L 3 2 ( 5 2 ) 2 50 50 = = =  = r 2 2 + r 3 2 3 2 + 5 2 9 + 25 34 Hubungan L 2 L 4 sebagai berikut: L 2 L 4 L 2 L 4 = = = = ( 4 + 3 ) 2 + ( 5 − 2 ) 2 7 2 + 3 2 49 + 9 58 Periksa antara L 2 dan L 4 sebagai berikut: L 2 L 4 2 ( 58 ) 2 58 58 = = =  = r 2 2 + r 4 2 3 2 + 3 2 9 + 9 18 Hubungan L 1 L 3 sebagai berikut: L 1 L 3 L 1 L 3 = = = = ( − 2 − 3 ) 2 + ( − 1 + 2 ) 2 ( − 5 ) 2 + ( 1 ) 2 25 + 1 26 Periksa antara L 1 dan L 3 sebagai berikut: L 1 L 3 2 ( 26 ) 2 26 26 = = = = r 1 2 + r 3 2 1 2 + 5 2 1 + 25 26 Hubungan L 1 L 4 sebagai berikut: L 1 L 4 L 1 L 4 = = = = ( − 2 − 3 ) 2 + ( − 1 − 2 ) 2 ( − 5 ) 2 + ( − 3 ) 2 25 + 9 34 Periksa antara L 1 dan L 4 sebagai berikut: L 1 L 4 2 ( 34 ) 2 34 34 = = =  = r 1 2 + r 3 2 1 2 + 3 2 1 + 9 10 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D.

Ingat bahwa dua lingkaran yang berpotongan, maka jarak kedua titik pusat $L_{1} L_{2}$ dapat diperoleh dengan rumus berikut:

$L_{1} L_{2} = (a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} + b_{2})^{2}$

Sudut antara dua lingkaran berpotongan tegak lurus dapat diperiksa sebagai berikut:

$L_{1} L_{2}^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}$

Ingat pula bentuk persamaan lingkaran dengan jari-jari $r$ dan titik pusat di $P (a, b)$ berikut:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Diketahui:

$L_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 4 = 0$ .
$L_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y + 32 = 0$ .
$L_{3} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$ .
$L_{4} : x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 4 = 0$ .

Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka persoalan tersebut adalah sebagai berikut:

Jari-jari dan titik pusat lingkaran $L_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 4 = 0$ sebagai berikut:

$x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 4 x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + 2 y + 1 - 1 (x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} - 1 (x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} = = = = 0001$

Maka jari-jari $L_{1}$ dan titik pusatnya berturut-turut adalah $1$ dan $P_{1} (- 2, - 1)$ .

Jari-jari dan titik pusat lingkaran $L_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y + 32 = 0$ sebagai berikut:

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y + 32 x^{2} - 8 x + 16 - 16 + y^{2} - 10 y + 25 - 25 + 32 (x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} - 41 + 32 (x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = = = = 0009$

Maka jari-jari $L_{2}$ dan titik pusatnya berturut-turut adalah $3$ dan $P_{2} (4, 5)$ .

Jari-jari dan titik pusat lingkaran $L_{3} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$ sebagai berikut:

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 x^{2} - 6 x + 9 - 9 + y^{2} + 4 y + 4 - 4 - 12 (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} - 13 - 12 (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = = = = 00025$

Maka jari-jari $L_{3}$ dan titik pusatnya berturut-turut adalah $5$ dan $P_{3} (3, - 2)$ .

Jari-jari dan titik pusat lingkaran $L_{4} : x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 4 = 0$ sebagai berikut:

$x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 4 x^{2} + 6 x + 9 - 9 + y^{2} - 4 y + 4 (x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} - 9 (x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = = = = 0009$

Maka jari-jari $L_{4}$ dan titik pusatnya berturut-turut adalah $3$ dan $P_{4} (- 3, 2)$ .

Sehingga hubungan-hubungan antar dua lingkaran dapat dicari sebagai berikut:

Hubungan $L_{4} L_{3}$ sebagai berikut:

$L_{4} L_{3} L_{4} L_{3} = = = = = (- 3 - 3)^{2} + (2 + 2)^{2} (- 6)^{2} + (4)^{2} 36 + 16 52213$

Periksa antara $L_{4}$ dan $L_{3}$ sebagai berikut:

$L_{4} L_{3}^{2} (213)^{2} 5252 = = = \neq = r_{4}^{2} + r_{3}^{2} 3^{2} + 5^{2} 9 + 25 34$

Hubungan $L_{2} L_{3}$ sebagai berikut:

$L_{2} L_{3} L_{2} L_{3} = = = = = (4 - 3)^{2} + (5 + 2)^{2} (1)^{2} + (7)^{2} 1 + 49 5052$

Periksa antara $L_{2}$ dan $L_{3}$ sebagai berikut:

$L_{2} L_{3}^{2} (52)^{2} 5050 = = = \neq = r_{2}^{2} + r_{3}^{2} 3^{2} + 5^{2} 9 + 25 34$

Hubungan $L_{2} L_{4}$ sebagai berikut:

$L_{2} L_{4} L_{2} L_{4} = = = = (4 + 3)^{2} + (5 - 2)^{2} 7^{2} + 3^{2} 49 + 9 58$

Periksa antara $L_{2}$ dan $L_{4}$ sebagai berikut:

$L_{2} L_{4}^{2} (58)^{2} 5858 = = = \neq = r_{2}^{2} + r_{4}^{2} 3^{2} + 3^{2} 9 + 9 18$

Hubungan $L_{1} L_{3}$ sebagai berikut:

$L_{1} L_{3} L_{1} L_{3} = = = = (- 2 - 3)^{2} + (- 1 + 2)^{2} (- 5)^{2} + (1)^{2} 25 + 1 26$

Periksa antara $L_{1}$ dan $L_{3}$ sebagai berikut:

$L_{1} L_{3}^{2} (26)^{2} 2626 = = = = r_{1}^{2} + r_{3}^{2} 1^{2} + 5^{2} 1 + 25 26$

Hubungan $L_{1} L_{4}$ sebagai berikut:

$L_{1} L_{4} L_{1} L_{4} = = = = (- 2 - 3)^{2} + (- 1 - 2)^{2} (- 5)^{2} + (- 3)^{2} 25 + 9 34$

Periksa antara $L_{1}$ dan $L_{4}$ sebagai berikut:

$L_{1} L_{4}^{2} (34)^{2} 3434 = = = \neq = r_{1}^{2} + r_{3}^{2} 1^{2} + 3^{2} 1 + 9 10$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Persamaan lingkaran yang memotong lingkaran lain x 2 + y 2 + 2 x + y − 11 = 0 secara tegak lurus dan melalui titik ( 4 , 3 ) , serta pusatnya pada garis 9 x + 4 y = 37 adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang memotong lingkaran lain x 2 + y 2 + 2 x + y − 11 = 0 secara tegak lurus dan melalui titik ( 4 , 3 ) , serta pusatnya pada garis 9 x + 4 y = 37 adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui persamaan lingkaran L 1 : x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 13 = 0 dan L 2 : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + k = 0 .Tentukan nilai k agar kedua lingkaran tersebut tegak lurus.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua lingkaran L 1 : x 2 + y 2 − 12 y − 2 y + 1 = 0 dan L 2 : x 2 + y 2 + 4 x + 10 y − 35 = 0 . Periksa apakah kedua lingkaran tersebut beririsan tegak lurus atau tidak?

5.0

Jawaban terverifikasi

Dua buah lingkaran yang jari-jarinya p cm dan q cm berpotongan dengan sudut siku-siku. Buktikanlah bahwa jarak sentralnya p 2 + q 2 . Catatan: Dua buah lingkaran berpotongandengan sudut siku-siku...

0.0

Jawaban terverifikasi