Dengan menguraikan cos (A−B), nyatakan −23 cos wt+2 cos (wt−61π) ke dalam bentuk a cos wt+b sin wt. Nyatakan juga −23 cos wt+2 cos (wt−61π) ke dalam bentuk R cos (wt−θ) dan R sin (wt−θ) untuk R>0!

Pertanyaan

Dengan menguraikan $\cos\;\left(\mathrm A-\mathrm B\right)$ , nyatakan $-2\sqrt3\;\cos\;wt+2\;\cos\;\left(wt-\frac16\mathrm\pi\right)$ ke dalam bentuk $a\;\cos\;wt+b\;\sin\;wt$ . Nyatakan juga $-2\sqrt3\;\cos\;wt+2\;\cos\;\left(wt-\frac16\mathrm\pi\right)$ ke dalam bentuk $R\;\cos\;\left(wt-\theta\right)$ dan $R\;\sin\;\left(wt-\theta\right)$ untuk $R>0$ !

A. Hadiannur

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat :

$\cos\;\left(A-B\right)=\cos\;A\;\cos\;B+\sin\;A\;\sin\;B$
$\sin\;\left(A-B\right)=\sin\;A\;\cos\;B-\cos\;A\;\sin\;B$
$\sin^2x+\cos^2x=1$
$a\;\cos\;x+b\;\sin\;x=R\;\cos\;\left(x-\alpha\right),\;\mathrm{dengan}\\R=\sqrt{a^2+b^2}\;\mathrm{dan}\;\alpha=\tan^{-1}\;\left(\frac ba\right)$

Berdasarkan konsep kosinus pengurangan dua sudut di atas maka diperoleh :

$\begin{array}{rcl}\cos\;\left(A-B\right)&=&\cos\;A\;\cos\;B+\sin\;A\;\sin\;B\\-2\sqrt3\;\cos\;wt+2\;\cos\;\left(wt-\frac16\mathrm\pi\right)&=&-2\sqrt3\;\cos\;wt+2\;\left(\cos\;wt\;\cos\;\frac16\mathrm\pi+\sin\;wt\;\sin\;\frac16\mathrm\pi\right)\\&=&-2\sqrt3\;\cos\;wt+2\;\left(\cos\;wt\;\times\frac12\sqrt3+\sin\;wt\;\times\frac12\right)\\&=&-2\sqrt3\;\cos\;wt+\sqrt3\;\cos\;wt+\sin\;wt\;\\&=&-\sqrt3\;\cos\;wt+\sin\;wt\;\\-\sqrt3\;\cos\;wt+\sin\;wt\;&=&R\;\cos\;\left(wt-\theta\right)\\R&=&\sqrt{a^2+b^2}\\R&=&\sqrt{\left(-\sqrt3\right)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt4=2\\&&\\&&\end{array}$

Karena $\left(-\sqrt3,\;1\right)$ berada di kuadran kedua maka $\theta$ juga di kuadran kedua dengan $tan space theta equals negative fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction$ . Perhatikan gambar berikut :

dimana $\theta=\mathrm\pi-\mathrm\alpha$

Karena $\theta=\mathrm\pi-\mathrm\alpha$ maka :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell tan space alpha end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction equals straight pi over 6 end cell row theta equals cell straight pi minus straight alpha equals straight pi minus straight pi over 6 equals fraction numerator 6 straight pi over denominator 6 end fraction minus straight pi over 6 equals fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction end cell end table$

Dengan demikian, diperoleh persamaan $negative square root of 3 space cos space w t plus sin space w t equals 2 space cos space open parentheses w t minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses$ .

Berdasarkan konsep pengurangan sinus dua sudut maka diperoleh :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell negative square root of 3 space cos space w t plus sin space w t end cell equals cell 2 space cos space open parentheses w t minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses end cell row cell sin space open parentheses A minus B close parentheses end cell equals cell sin space A space cos space B minus cos space A space sin space B end cell row cell negative square root of 3 space cos space w t plus sin space w t end cell equals cell R space sin space open parentheses w t minus theta close parentheses end cell row cell negative square root of 3 space cos space w t plus sin space w t end cell equals cell R space sin space w t space cos space theta minus R space cos space w t space sin theta end cell row cell R space sin space w t space cos space theta end cell equals cell sin space w t rightwards double arrow R space cos space theta equals 1 end cell row cell negative R space cos space w t space sin theta end cell equals cell negative square root of 3 space cos space w t rightwards double arrow R space sin space theta equals square root of 3 end cell row cell R squared space cos squared space theta plus R squared space sin squared space theta end cell equals cell 1 squared plus open parentheses square root of 3 close parentheses squared equals 1 plus 3 equals 4 end cell row cell R squared space open parentheses cos squared space theta plus sin squared space theta close parentheses end cell equals 4 row cell R squared end cell equals cell 4 rightwards double arrow R equals square root of 4 equals 2 end cell end table$

Karena $cos space theta equals 1 over R greater than 0 comma space sin space theta equals fraction numerator square root of 3 over denominator R end fraction greater than 0$ maka $\;\theta$ di kuadran pertama dengan $tan space space theta equals fraction numerator sin space theta over denominator cos space theta end fraction equals fraction numerator begin display style bevelled fraction numerator square root of 3 over denominator R end fraction end style over denominator begin display style bevelled 1 over R end style end fraction equals square root of 3$ sehingga diperoleh :

$\begin{array}{rcl}\tan\;\theta&=&\sqrt3\\\theta&=&\tan^{-1}\;\left(\sqrt3\right)=\frac{\mathrm\pi}3\end{array}$

Dengan demikian, diperoleh persamaan $-\sqrt3\;\cos\;wt+\sin\;wt=2\;\sin\;\left(wt-\frac{\mathrm\pi}3\right)$ .

2.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Pada gambar berikut, diketahui AB=10 cm, BC=5 cm, ∠BAP=x∘, dan BC tegak lurus AB. Proyeksi titik B dan C ke garis AP berturut-turut adalah titik D dan E. a. Tunjukkanlah (i) EC(ii) AE==10 s...

106

0.0

Jawaban terverifikasi