Pertanyaan

Dengan menguraikan cos ( A − B ) , nyatakan − 2 3 cos wt + 2 cos ( wt − 6 1 π ) ke dalam bentuk a cos wt + b sin wt . Nyatakan juga − 2 3 cos wt + 2 cos ( wt − 6 1 π ) ke dalam bentuk R cos ( wt − θ ) dan R sin ( wt − θ ) untuk R > 0 !

Dengan menguraikan $cos (A - B)$ , nyatakan $- 23 cos wt + 2 cos (wt - \frac{1}{6} π)$ ke dalam bentuk $a cos wt + b sin wt$ . Nyatakan juga $- 23 cos wt + 2 cos (wt - \frac{1}{6} π)$ ke dalam bentuk $R cos (wt - θ)$ dan $R sin (wt - θ)$ untuk $R > 0$ !

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat : cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B sin 2 x + cos 2 x = 1 a cos x + b sin x = R cos ( x − α ) , dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Berdasarkan konsep kosinus pengurangan dua sudut di atas maka diperoleh : cos ( A − B ) − 2 3 cos wt + 2 cos ( wt − 6 1 π ) − 3 cos wt + sin wt R R = = = = = = = = cos A cos B + sin A sin B − 2 3 cos wt + 2 ( cos wt cos 6 1 π + sin wt sin 6 1 π ) − 2 3 cos wt + 2 ( cos wt × 2 1 3 + sin wt × 2 1 ) − 2 3 cos wt + 3 cos wt + sin wt − 3 cos wt + sin wt R cos ( wt − θ ) a 2 + b 2 ( − 3 ) 2 + 1 2 = 3 + 1 = 4 = 2 Karena ( − 3 , 1 ) berada di kuadran kedua maka θ juga di kuadran kedua dengan tan θ = − 3 1 . Perhatikan gambar berikut : dimana θ = π − α Karena θ = π − α maka : tan α θ = = 3 1 = 6 π π − α = π − 6 π = 6 6 π − 6 π = 6 5 π Dengan demikian, diperoleh persamaan − 3 cos wt + sin wt = 2 cos ( wt − 6 5 π ) . Berdasarkan konsep pengurangansinus dua sudut maka diperoleh : − 3 cos wt + sin wt sin ( A − B ) − 3 cos wt + sin wt − 3 cos wt + sin wt R sin wt cos θ − R cos wt sin θ R 2 cos 2 θ + R 2 sin 2 θ R 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) R 2 = = = = = = = = = 2 cos ( wt − 6 5 π ) sin A cos B − cos A sin B R sin ( wt − θ ) R sin wt cos θ − R cos wt sin θ sin wt ⇒ R cos θ = 1 − 3 cos wt ⇒ R sin θ = 3 1 2 + ( 3 ) 2 = 1 + 3 = 4 4 4 ⇒ R = 4 = 2 Karena cos θ = R 1 > 0 , sin θ = R 3 > 0 maka θ di kuadran pertama dengan tan θ = cos θ sin θ = R 1 R 3 = 3 sehingga diperoleh : tan θ θ = = 3 tan − 1 ( 3 ) = 3 π Dengan demikian, diperoleh persamaan − 3 cos wt + sin wt = 2 sin ( wt − 3 π ) .

Ingat :

$cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B$
$sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B$
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$
$a cos x + b sin x = R cos (x - α), dengan R = a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$

Berdasarkan konsep kosinus pengurangan dua sudut di atas maka diperoleh :

$cos (A - B) - 23 cos wt + 2 cos (wt - \frac{1}{6} π) - 3 cos wt + sin wt R R = = = = = = = = cos A cos B + sin A sin B - 23 cos wt + 2 (cos wt cos \frac{1}{6} π + sin wt sin \frac{1}{6} π) - 23 cos wt + 2 (cos wt \times \frac{1}{2} 3 + sin wt \times \frac{1}{2}) - 23 cos wt + 3 cos wt + sin wt - 3 cos wt + sin wt R cos (wt - θ) a^{2} + b^{2} (- 3)^{2} + 1^{2} = 3 + 1 = 4 = 2$

Karena $(- 3, 1)$ berada di kuadran kedua maka $θ$ juga di kuadran kedua dengan $tan θ = - \frac{1}{3}$ . Perhatikan gambar berikut :

dimana $θ = π - α$

Karena $θ = π - α$ maka :

$tan α θ = = \frac{1}{3} = \frac{π}{6} π - α = π - \frac{π}{6} = \frac{6 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$

Dengan demikian, diperoleh persamaan $- 3 cos wt + sin wt = 2 cos (wt - \frac{5 π}{6})$ .

Berdasarkan konsep pengurangan sinus dua sudut maka diperoleh :

$- 3 cos wt + sin wt sin (A - B) - 3 cos wt + sin wt - 3 cos wt + sin wt R sin wt cos θ - R cos wt sin θ R^{2} cos^{2} θ + R^{2} sin^{2} θ R^{2} (cos^{2} θ + sin^{2} θ) R^{2} = = = = = = = = = 2 cos (wt - \frac{5 π}{6}) sin A cos B - cos A sin B R sin (wt - θ) R sin wt cos θ - R cos wt sin θ sin wt \Rightarrow R cos θ = 1 - 3 cos wt \Rightarrow R sin θ = 3 1^{2} + (3)^{2} = 1 + 3 = 4 4 4 \Rightarrow R = 4 = 2$

Karena $cos θ = \frac{1}{R} > 0, sin θ = \frac{3}{R} > 0$ maka $θ$ di kuadran pertama dengan $tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{\frac{3}{R}}{\frac{1}{R}} = 3$ sehingga diperoleh :

$tan θ θ = = 3 tan^{- 1} (3) = \frac{π}{3}$

Dengan demikian, diperoleh persamaan $- 3 cos wt + sin wt = 2 sin (wt - \frac{π}{3})$ .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

2.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Pada gambar berikut, diketahui AB = 10 cm , BC = 5 cm , ∠ BAP = x ∘ , dan BC tegak lurus AB . Proyeksi titik B dan C ke garis AP berturut-turut adalah titik D dan E . a. Tunjukkanlah ( i )...

0.0

Jawaban terverifikasi

Pada gambar berikut, diketahui AB = 10 cm , BC = 5 cm , ∠ BAP = x ∘ , dan BC tegak lurus AB . Proyeksi titik B dan C ke garis AP berturut-turut adalah titik D dan E . a. Tunjukkanlah ( i )...

0.0

Jawaban terverifikasi

Ubahlah masing-masing bentuk trigonometri di bawah ini ke bentuk R sin ( x ± α ) . ( Petunjuk : gunakan kalkulator untuk mencari besar sudut α ) :

5.0

Jawaban terverifikasi

Ubahlah masing-masing bentuk trigonometri di bawah ini ke bentuk R sin ( x ± α ) . ( Petunjuk : gunakan kalkulator untuk mencari besar sudut α ) :

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk R > 0 dan 0 ≤ α ≤ 2 π , ubahlahpasangan persamaan di bawah ini ke dalam bentuk dengan mencari nilai R dan α : R cos A = − 3 , R sin A = 1

0.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS