Pertanyaan

Pada gambar berikut, diketahui AB = 10 cm , BC = 5 cm , ∠ BAP = x ∘ , dan BC tegak lurus AB . Proyeksi titik B dan C ke garis AP berturut-turut adalah titik D dan E . a. Tunjukkanlah ( i ) EC ( ii ) AE = = 10 sin x ∘ + 5 cos x ∘ 10 cos x ∘ − 5 sin x ∘ b. Nyatakanlah : ( i ) EC dalam bentuk R sin ( x + α ) ∘ ( ii ) AE dalam bentuk R sin ( x − α ) ∘ c. Hitunglah nilai maksimum dan minimum dari : ( i ) EC ( ii ) AE

Pada gambar berikut, diketahui $AB = 10 cm, BC = 5 cm, ∠ BAP = x^{\circ}$ , dan $BC$ tegak lurus $AB$ .

Proyeksi titik $B$ dan $C$ ke garis $AP$ berturut-turut adalah titik $D$ dan $E$ .

a. Tunjukkanlah

$(i) EC (ii) AE = = 10 sin x^{\circ} + 5 cos x^{\circ} 10 cos x^{\circ} - 5 sin x^{\circ}$

b. Nyatakanlah :

$(i) EC dalam bentuk R sin (x + α)^{\circ} (ii) AE dalam bentuk R sin (x - α)^{\circ}$

c. Hitunglah nilai maksimum dan minimum dari :

$(i) EC (ii) AE$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Hadiannur

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat konsep : sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B R sin ( x ± α ) R = = a sin x ± b cos x , dengan a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) sin 2 x + cos 2 x = 1 y y min y mak s = = = a cos x + b sin x , 0 ∘ ≤ x < 36 0 ∘ R = a 2 + b 2 , pada x = 18 0 ∘ + α R = a 2 + b 2 , pada x = α Perhatikan segitiga berikut : sin θ = Z B cos θ = Z A tan θ = A B Dari soal diketahui : ∠ EG A = 9 0 ∘ − x ∠ BGC = 9 0 ∘ − x ∠ BCF = 18 0 ∘ − ( 9 0 ∘ + 9 0 ∘ − x ) = x a. Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh penyelesaian : EF A B B D BC CF EC A B A D BC BF A E = = = = = = = B D sin x ∘ ⇒ 10 B D = sin x ∘ ⇒ B D = 10 sin x ∘ sin x ∘ ⇒ 5 CF = sin x ∘ ⇒ CF = 5 sin x ∘ EF + CF = B D + CF = 10 sin x ∘ + 5 sin x ∘ cos x ∘ ⇒ A D = A B cos x ∘ = 10 cos x ∘ sin x ∘ ⇒ BF = BC sin x ∘ = 5 sin x ∘ A D − D E = 10 cos x ∘ − 5 sin x ∘ Dengan demikian, terbukti EC = 10 sin x ∘ + 5 cos x ∘ dan . b. Berdasarkan konsep penjumlahan sinus dua sudut maka diperoleh : sin ( A + B ) EC R sin x ∘ cos α R cos x ∘ sin α R 2 sin 2 α + R 2 cos 2 α R 2 ( sin 2 α + cos 2 α ) R 2 = = = = = = = = sin A cos B + cos A sin B 10 sin x ∘ + 5 cos x ∘ = R sin ( x + α ) ∘ R sin x ∘ cos α + R cos x ∘ sin α 10 sin x ∘ ⇒ R cos α = 10 ⇒ cos α = R 10 5 cos x ∘ ⇒ R sin α = 5 ⇒ sin α = R 5 5 2 + 1 0 2 = 25 + 100 = 125 125 125 ⇒ R = 125 = 5 5 Karena sin α > 0 dan cos α > 0 maka α di kuadran pertama. Diperoleh : tan α α = = c o s α s i n α = R 10 2 5 R = 2 1 tan − 1 ( 2 1 ) = 26 , 5 6 ∘ Dengan demikian, diperoleh persamaan yaitu . Berdasarkan konsep selisihsinus dua sudut maka diperoleh : sin ( A − B ) A E R sin x ∘ cos α − R cos x ∘ sin α R 2 sin 2 α + R 2 cos 2 α R 2 ( sin 2 α + cos 2 α ) R 2 = = = = = = = = sin A cos B − cos A sin B 10 cos x ∘ − 5 sin x ∘ = R sin ( x − α ) ∘ R sin x ∘ cos α − R cos x ∘ sin α − 5 sin x ∘ ⇒ R cos α = − 5 ⇒ cos α = − R 5 10 cos x ∘ ⇒ R sin α = − 10 ⇒ sin α = − R 10 ( − 10 ) 2 + ( − 5 ) 2 = 100 + 25 = 125 125 125 ⇒ R = 125 = 5 5 Karena sin α < 0 dan cos α < 0 maka α di kuadran ketiga. Perhatikan gambar berikut : dimana α = π + θ Karena α = π + θ maka : tan α tan θ θ α = = = = c o s α s i n α = R − 5 R − 10 = 2 2 tan − 1 2 = 63 , 4 3 ∘ π + θ = 243 , 4 3 ∘ Dengan demikian, diperoleh persamaan yaitu . c. Mencari nilai maksimum dan minimum EC R = = 10 sin x ∘ + 5 cos x ∘ a 2 + b 2 = 5 2 + 1 0 2 = 25 + 100 = 125 = 5 5 Dengan demikian, E C min = − 5 5 dan E C mak s = 5 5 . AE = 10 cos x ∘ − 5 sin x ∘ R = a 2 + b 2 = 1 0 2 + ( − 5 ) 2 = 100 + 25 = 125 = 5 5 Dengan demikian, A E min = − 5 5 dan A E mak s = 5 5 .

Ingat konsep :

$sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$
$sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B$
$R sin (x \pm α) R = = a sin x \pm b cos x, dengan a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$
$y y_{min} y_{mak s} = = = a cos x + b sin x, 0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ} R = a^{2} + b^{2}, pada x = 18 0^{\circ} + α R = a^{2} + b^{2}, pada x = α$
Perhatikan segitiga berikut :

$sin θ = \frac{B}{Z} cos θ = \frac{A}{Z} tan θ = \frac{B}{A}$

Dari soal diketahui :

$∠ EG A = 9 0^{\circ} - x ∠ BGC = 9 0^{\circ} - x ∠ BCF = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} - x) = x$

a. Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh penyelesaian :

$EF \frac{B D}{A B} \frac{CF}{BC} EC \frac{A D}{A B} \frac{BF}{BC} A E = = = = = = = B D sin x^{\circ} \Rightarrow \frac{B D}{10} = sin x^{\circ} \Rightarrow B D = 10 sin x^{\circ} sin x^{\circ} \Rightarrow \frac{CF}{5} = sin x^{\circ} \Rightarrow CF = 5 sin x^{\circ} EF + CF = B D + CF = 10 sin x^{\circ} + 5 sin x^{\circ} cos x^{\circ} \Rightarrow A D = A B cos x^{\circ} = 10 cos x^{\circ} sin x^{\circ} \Rightarrow BF = BC sin x^{\circ} = 5 sin x^{\circ} A D - D E = 10 cos x^{\circ} - 5 sin x^{\circ}$

Dengan demikian, terbukti $EC = 10 sin x^{\circ} + 5 cos x^{\circ}$ dan AE equals 10 space cos space x degree minus 5 space sin space x degree .

b. Berdasarkan konsep penjumlahan sinus dua sudut maka diperoleh :

$sin (A + B) EC R sin x^{\circ} cos α R cos x^{\circ} sin α R^{2} sin^{2} α + R^{2} cos^{2} α R^{2} (sin^{2} α + cos^{2} α) R^{2} = = = = = = = = sin A cos B + cos A sin B 10 sin x^{\circ} + 5 cos x^{\circ} = R sin (x + α)^{\circ} R sin x^{\circ} cos α + R cos x^{\circ} sin α 10 sin x^{\circ} \Rightarrow R cos α = 10 \Rightarrow cos α = \frac{10}{R} 5 cos x^{\circ} \Rightarrow R sin α = 5 \Rightarrow sin α = \frac{5}{R} 5^{2} + 1 0^{2} = 25 + 100 = 125 125 125 \Rightarrow R = 125 = 55$

Karena $sin α > 0 dan cos α > 0$ maka $α$ di kuadran pertama. Diperoleh :

$tan α α = = \frac{s i n α}{c o s α} = \frac{\frac{5}{2} R}{\frac{10}{R}} = \frac{1}{2} tan^{- 1} (\frac{1}{2}) = 26, 5 6^{\circ}$

Dengan demikian, diperoleh persamaan yaitu $EC=5\sqrt5\;\sin\;\left(x+26,56\right)^\textdegree$ .

Berdasarkan konsep selisih sinus dua sudut maka diperoleh :

$sin (A - B) A E R sin x^{\circ} cos α - R cos x^{\circ} sin α R^{2} sin^{2} α + R^{2} cos^{2} α R^{2} (sin^{2} α + cos^{2} α) R^{2} = = = = = = = = sin A cos B - cos A sin B 10 cos x^{\circ} - 5 sin x^{\circ} = R sin (x - α)^{\circ} R sin x^{\circ} cos α - R cos x^{\circ} sin α - 5 sin x^{\circ} \Rightarrow R cos α = - 5 \Rightarrow cos α = - \frac{5}{R} 10 cos x^{\circ} \Rightarrow R sin α = - 10 \Rightarrow sin α = - \frac{10}{R} (- 10)^{2} + (- 5)^{2} = 100 + 25 = 125 125 125 \Rightarrow R = 125 = 55$

Karena $sin α < 0 dan cos α < 0$ maka $α$ di kuadran ketiga. Perhatikan gambar berikut :

dimana $α = π + θ$

Karena $α = π + θ$ maka :

$tan α tan θ θ α = = = = \frac{s i n α}{c o s α} = \frac{\frac{- 10}{R}}{\frac{- 5}{R}} = 2 2 tan^{- 1} 2 = 63, 4 3^{\circ} π + θ = 243, 4 3^{\circ}$

Dengan demikian, diperoleh persamaan yaitu $AE=5\sqrt5\;\sin\;\left(x-243,43\right)^\textdegree$ .

c. Mencari nilai maksimum dan minimum

$EC R = = 10 sin x^{\circ} + 5 cos x^{\circ} a^{2} + b^{2} = 5^{2} + 1 0^{2} = 25 + 100 = 125 = 55$

Dengan demikian, $E C_{min} = - 55 dan E C_{mak s} = 55$ .

$AE = 10 cos x^{\circ} - 5 sin x^{\circ} R = a^{2} + b^{2} = 1 0^{2} + (- 5)^{2} = 100 + 25 = 125 = 55$

Dengan demikian, $A E_{min} = - 55 dan A E_{mak s} = 55$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Sebuah segitiga siku-siku salah satu sudutnya θ ∘ dan panjang sisi miringnya R . Keliling segitiga itu adalah 100 cm . a. Tunjukkan bahwa R = ( 1 + sin θ ∘ + cos θ ∘ 100 ) b. Tunjukkan nilai m...

133

0.0

Jawaban terverifikasi

133

0.0

Jawaban terverifikasi

Nilai maksimum dan minimum dari fungsi secara berturut-turut adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui nilai minimum dari fungsi dengan A < 0 adalah -5. Jika nilai maksimum dari fungsi f(x) adalah M, maka A + M =....

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menguraikan cos ( A − B ) , nyatakan − 2 3 cos wt + 2 cos ( wt − 6 1 π ) ke dalam bentuk a cos wt + b sin wt . Nyatakan juga − 2 3 cos wt + 2 cos ( wt − 6 1 π ) ke dalam bentuk R cos ( ...

2.0

Jawaban terverifikasi