Iklan

Iklan

Pertanyaan

Pada gambar berikut, diketahui AB = 10 cm , BC = 5 cm , ∠ BAP = x ∘ , dan BC tegak lurus AB . Proyeksi titik B dan C ke garis AP berturut-turut adalah titik D dan E . a. Tunjukkanlah ( i ) EC ( ii ) AE ​ = = ​ 10 sin x ∘ + 5 cos x ∘ 10 cos x ∘ − 5 sin x ∘ ​ b. Nyatakanlah : ​ ​ ( i ) EC dalam bentuk R sin ( x + α ) ∘ ( ii ) AE dalam bentuk R sin ( x − α ) ∘ ​ c. Hitunglah nilai maksimum dan minimum dari : ​ ​ ( i ) EC ( ii ) AE ​

Pada gambar berikut, diketahui , dan  tegak lurus .

Proyeksi titik  dan  ke garis  berturut-turut adalah titik  dan .

a. Tunjukkanlah

    

b. Nyatakanlah :

    

c. Hitunglah nilai maksimum dan minimum dari :

     

Iklan

A. Hadiannur

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Iklan

Pembahasan

Ingat konsep : sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B R sin ( x ± α ) R ​ = = ​ a sin x ± b cos x , dengan a 2 + b 2 ​ dan α = tan − 1 ( a b ​ ) ​ sin 2 x + cos 2 x = 1 y y min ​ y mak s ​ ​ = = = ​ a cos x + b sin x , 0 ∘ ≤ x < 36 0 ∘ R = a 2 + b 2 ​ , pada x = 18 0 ∘ + α R = a 2 + b 2 ​ , pada x = α ​ Perhatikan segitiga berikut : sin θ = Z B ​ cos θ = Z A ​ tan θ = A B ​ Dari soal diketahui : ∠ EG A = 9 0 ∘ − x ∠ BGC = 9 0 ∘ − x ∠ BCF = 18 0 ∘ − ( 9 0 ∘ + 9 0 ∘ − x ) = x a. Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh penyelesaian : EF A B B D ​ BC CF ​ EC A B A D ​ BC BF ​ A E ​ = = = = = = = ​ B D sin x ∘ ⇒ 10 B D ​ = sin x ∘ ⇒ B D = 10 sin x ∘ sin x ∘ ⇒ 5 CF ​ = sin x ∘ ⇒ CF = 5 sin x ∘ EF + CF = B D + CF = 10 sin x ∘ + 5 sin x ∘ cos x ∘ ⇒ A D = A B cos x ∘ = 10 cos x ∘ sin x ∘ ⇒ BF = BC sin x ∘ = 5 sin x ∘ A D − D E = 10 cos x ∘ − 5 sin x ∘ ​ Dengan demikian, terbukti EC = 10 sin x ∘ + 5 cos x ∘ ​ dan . b. Berdasarkan konsep penjumlahan sinus dua sudut maka diperoleh : sin ( A + B ) EC R sin x ∘ cos α R cos x ∘ sin α R 2 sin 2 α + R 2 cos 2 α R 2 ( sin 2 α + cos 2 α ) R 2 ​ = = = = = = = = ​ sin A cos B + cos A sin B 10 sin x ∘ + 5 cos x ∘ = R sin ( x + α ) ∘ R sin x ∘ cos α + R cos x ∘ sin α 10 sin x ∘ ⇒ R cos α = 10 ⇒ cos α = R 10 ​ 5 cos x ∘ ⇒ R sin α = 5 ⇒ sin α = R 5 ​ 5 2 + 1 0 2 = 25 + 100 = 125 125 125 ⇒ R = 125 ​ = 5 5 ​ ​ Karena sin α > 0 dan cos α > 0 maka α di kuadran pertama. Diperoleh : tan α α ​ = = ​ c o s α s i n α ​ = R 10 ​ 2 5 ​ R ​ = 2 1 ​ tan − 1 ( 2 1 ​ ) = 26 , 5 6 ∘ ​ Dengan demikian, diperoleh persamaan yaitu . Berdasarkan konsep selisihsinus dua sudut maka diperoleh : sin ( A − B ) A E R sin x ∘ cos α − R cos x ∘ sin α R 2 sin 2 α + R 2 cos 2 α R 2 ( sin 2 α + cos 2 α ) R 2 ​ = = = = = = = = ​ sin A cos B − cos A sin B 10 cos x ∘ − 5 sin x ∘ = R sin ( x − α ) ∘ R sin x ∘ cos α − R cos x ∘ sin α − 5 sin x ∘ ⇒ R cos α = − 5 ⇒ cos α = − R 5 ​ 10 cos x ∘ ⇒ R sin α = − 10 ⇒ sin α = − R 10 ​ ( − 10 ) 2 + ( − 5 ) 2 = 100 + 25 = 125 125 125 ⇒ R = 125 ​ = 5 5 ​ ​ Karena sin α < 0 dan cos α < 0 maka α di kuadran ketiga. Perhatikan gambar berikut : dimana α = π + θ Karena α = π + θ maka : tan α tan θ θ α ​ = = = = ​ c o s α s i n α ​ = R − 5 ​ R − 10 ​ ​ = 2 2 tan − 1 2 = 63 , 4 3 ∘ π + θ = 243 , 4 3 ∘ ​ Dengan demikian, diperoleh persamaan yaitu . c. Mencari nilai maksimum dan minimum EC R ​ = = ​ 10 sin x ∘ + 5 cos x ∘ a 2 + b 2 ​ = 5 2 + 1 0 2 ​ = 25 + 100 ​ = 125 ​ = 5 5 ​ ​ Dengan demikian, E C min ​ = − 5 5 ​ dan E C mak s ​ = 5 5 ​ . AE = 10 cos x ∘ − 5 sin x ∘ R = a 2 + b 2 ​ = 1 0 2 + ( − 5 ) 2 ​ = 100 + 25 ​ = 125 ​ = 5 5 ​ ​ Dengan demikian, A E min ​ = − 5 5 ​ dan A E mak s ​ = 5 5 ​ .

Ingat konsep :

  •  
  •  
  • Perhatikan segitiga berikut :

Dari soal diketahui :

a. Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh penyelesaian :

Dengan demikian, terbukti   dan AE equals 10 space cos space x degree minus 5 space sin space x degree.

b. Berdasarkan konsep penjumlahan sinus dua sudut maka diperoleh :

 

Karena  maka  di kuadran pertama. Diperoleh :

Dengan demikian, diperoleh persamaan yaitu E C equals 5 square root of 5 space sin space open parentheses x plus 26 comma 56 close parentheses to the power of degree.

Berdasarkan konsep selisih sinus dua sudut maka diperoleh :

 

Karena  maka  di kuadran ketiga. Perhatikan gambar berikut :

dimana 

Karena  maka :

Dengan demikian, diperoleh persamaan yaitu A E equals 5 square root of 5 space sin space open parentheses x minus 243 comma 43 close parentheses to the power of degree.

c. Mencari nilai maksimum dan minimum

Dengan demikian, 

 

Dengan demikian, .

 

 

 

 

 

 

Latihan Bab

Konsep Kilat

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Sudut Rangkap dan Sudut Paruh

Perkalian Trigonometri

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

281

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Sebuah segitiga siku-siku salah satu sudutnya θ ∘ dan panjang sisi miringnya R . Keliling segitiga itu adalah 100 cm . a. Tunjukkan bahwa R = ( 1 + sin θ ∘ + cos θ ∘ 100 ​ ) b. Tunjukkan nilai m...

102

0.0

Jawaban terverifikasi

Iklan

Iklan

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Fitur Roboguru

Topik Roboguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2023 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia