Dengan menggunakan prinsip induksi matematika buktikan kebenaran ekspresi berikut. b. i = 1 ∑ n ​ i ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 ) 1 ​ = 18 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) n 3 + 6 n 2 + 11 n ​

Pembahasan

Langkah-langkah Prinsip Induksi Matematika: 1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar. 2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k . 3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar. embuktiannya sebagai berikut: 1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar. 1 ( 1 + 1 ) ( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) 1 ​ 24 1 ​ 24 1 ​ ​ = = = ​ 18 ( 1 + 1 ) ( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) 1 3 + 6 ⋅ 1 2 + 11 ⋅ 1 ​ 18 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 18 ​ 24 1 ​ ​ Langkah pertama terbukti ya, karena ruas kiri dan kanannya sama. 2.Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k. Pernyataan tersebutkita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah yang ketiga. 3.Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar. 24 1 ​ + ... + k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) 1 ​ + ( k + 1 ) (( k + 1 ) + 1 ) (( k + 1 ) + 2 ) (( k + 1 ) + 3 ) 1 ​ 18 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) k 3 + 6 k 2 + 11 k ​ + ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) 1 ​ 18 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k 3 + 6 k 2 + 11 k ) ( k + 4 ) + 18 ​ 18 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) [ ( k + 1 ) 3 + 3 k 2 + 8 k − 1 ] [ ( k + 1 ) + 3 ] + 18 ​ 18 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) [ ( k + 1 ) 3 + 3 ( k + 1 ) 2 + 2 ( k + 1 ) − 6 ] [ ( k + 1 ) + 3 ] + 18 ​ 18 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 4 + 3 ( k + 1 ) 3 + 2 ( k + 1 ) 2 − 6 ( k + 1 ) + 3 ( k + 1 ) 3 + 9 ( k + 1 ) 2 + 6 ( k + 1 ) − 18 + 18 ​ 18 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 4 + 6 ( k + 1 ) 3 + 11 ( k + 1 ) 2 ​ 18 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) [ ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ] ​ 18 ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ ​ = = = = = = = = = ​ 18 (( k + 1 ) + 1 ) (( k + 1 ) + 2 ) (( k + 1 ) + 3 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ 18 ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ 18 ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ 18 ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ 18 ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ 18 ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ 18 ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ 18 ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ 18 ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 ) ( k + 1 ) 3 + 6 ( k + 1 ) 2 + 11 ( k + 1 ) ​ ​ Karena ruas kiri dan kanannya sama, berarti pernyataan n = k + 1 bernilai benar. Jadi, dari uraian yang telah diapaparkan diatas bentuk merupakan bentuk yang benar.