Roboguru

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut. sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

Pertanyaan

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut.

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

 

Pembahasan Soal:

Ingat rumus sudut ganda serta jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sin2A=2sinAcosA

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

cosAcosB=2sin21(A+B)sin21(AB)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

sin2A+sin2B+sin2C=2sinAcosA+(sin2B+sin2C)=2sinAcosA+(2sin21(2B+2C)cos21(2B2C))=2sinAcosA+(2sin(B+C)cos(BC))=2sinAcosA+(2sin(180A)cos(BC))(A,B,CsudutdalamsegitigasehinggaA+B+C=180)=2sinAcosA+(2sinAcos(BC))(sin(180A)=sinA)=2sinAcosA+2sinAcos(BC)=2sinA(cosA+cos(BC))=2sinA(cos(180(B+C))+cos(BC))(A,B,CsudutdalamsegitigasehinggaA+B+C=180)=2sinA(cos(B+C)+cos(BC))(cos(180(B+C))=cos(B+C))=2sinA(cos(BC)cos(B+C))=2sinA(2sin21(BC+B+C)sin21(BC(B+C)))=2sinA(2sin21(2B)sin21(BCBC))=2sinA(2sin21(2B)sin21(2C))=2sinA(2sinBsin(C))=2sinA(2sinB(sinC))(sin(C)=sinC)=2sinA(2sinBsinC)=4sinAsinBsinC


Jadi, dalam ABC dapat ditunjukkan bahwa sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

D. Rajib

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Bentuk sederhana dari cosA−cos2AsinA+sin2A​ adalah ....

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri sebagai berikut!

begin mathsize 14px style sin invisible function application alpha plus sin invisible function application beta equals 2 sin invisible function application 1 half open parentheses alpha plus beta close parentheses cos invisible function application 1 half open parentheses alpha minus beta close parentheses end style

begin mathsize 14px style cos invisible function application alpha minus cos invisible function application beta equals negative 2 sin invisible function application 1 half open parentheses alpha plus beta close parentheses sin invisible function application 1 half open parentheses alpha minus beta close parentheses end style

Dengan demikian, didapat perhitungan sebagai berikut.

cosAcos2AsinA+sin2A=2sin21(A+2A)sin21(A2A)2sin21(A+2A)cos21(A2A)=2sin23Asin(21A)2sin23Acos(21A)=2sin23A(sin21A)2sin23Acos21A=2sin23Asin21A2sin23Acos21A=sin21Acos21A=cot21A 

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

0

Roboguru

Jika A+B+C=2S, tunjukkan bahwa. sin(S−A)+sin(S−B)+sin(S−C)−sinS=4sin(2A​)sin(2B​)sin(2C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dan selisiihTrigonometri yaitu

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)cosAcosB=2sin21(A+B)sin21(AB)

Sudut berelasi

sin(A)=sin(A)

Dari soal diketahui

A+B+CA+BC===2S2SC2S(A+B)

Sehingga 

sin(SA)+sin(SB)+sin(SC)sinS2sin21(SA+SB)cos21(SAS+B)+2cos21(SC+S)sin21(SCS)2sin(22S(A+B))cos(2BA)+2cos(22SC)sin(2C)2sin(2C)cos(2BA)2cos(22SC)sin(2C)2sin(2C)[cos(2BA)cos(22SC)]2sin(2C)[cos(2BA)cos(2A+B)]2sin(2C)[2sin21(2BA+A+B)sin21(2BAAB)]2sin(2C)[2sin(42B)sin(42A)]2sin(2C)[2sin(2B)sin(2A)]2sin(2C)[2sin(2B)sin(2A)]4sin(2A)sin(2B)sin(2C)(terbukti)

Dengan demikian terbukti bahwa sin(SA)+sin(SB)+sin(SC)sinS=4sin(2A)sin(2B)sin(2C)

0

Roboguru

Jika A+B+C+D=2π, tunjukkan bahwa. cosA−cosB+cosC−cosD=4sin(2A+B​)sin(2A+D​)cos(2A+C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dan selisihTrigonometri yaitu

cosAcosB=2sin21(A+B)sin21(AB)sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

Sudut berelasi 

sin(90α)=cosα

sin(180α)=sinα

sin(α)=sinαcos(α)=cosα

Dari soal diketahui

A+B+C+DC+DB+DB+Csin(2C+D)=======2π2π(A+B)2π(A+C)2π(A+D)sin(22π(A+B))sin(180(2A+B))sin(2A+B)

Sehingga 

==============cosAcosB+cosCcosD(cosAcosB)+(cosCcosD)2sin(2A+B)sin(2AB)2sin(2C+D)sin(2CD)2sin(2A+B)sin(2AB)2sin(22π(A+B))sin(2CD)2sin(2A+B)sin(2AB)2sin(π2(A+B))sin(2CD)2sin(2A+B)sin(2AB)2sin(2A+B)sin(2CD)2sin(2A+B)[sin(2AB)+sin(2CD)]2sin(2A+B)[2sin(2AB+CD)cos(2ABC+D)]2sin(2A+B)[2sin21(2(A+C)(B+D))cos21(2(A+D)(B+C))]4sin(2A+B)[sin(4(A+C)(2π(A+C)))cos(4(A+D)(2π(A+D)))]4sin(2A+B)[sin(42(A+C)2π)cos(42(A+D)2π)]4sin(2A+B)[sin(42π2(A+C))cos(42π2(A+D))]4sin(2A+B)sin(2π2(A+C))cos(2π2(A+D))4sin(2A+B)cos(2A+C)sin(2A+D)4sin(2A+B)sin(2A+D)cos(2A+C)(terbukti)

Dengan demikian benar bahwa SinA+sinB+sinC=4cos(2A)cos(2B)cos(2C)

0

Roboguru

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut! SinA+sinB−sinC=4sin(2A​)sin(2B​)cos(2C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

rumus jumlah Trigonometri yaitu

SinA+sinB=2sin(2A+B)cos(2AB)cosAcosB=2sin(2A+B)sin(2AB)

Sudut relasi di kuadran I pada sinus

sin(90α)=cosα

Sudut relasi sinus

sin(α)=sinα

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CA+B2A+B2A+Bsin(2A+B)sin(2A+B)cos(2A+B)========180180C2180C902Csin(902C)cos2Ccos(902C)sin2C

Sehingga 

sinA+sinBsinC==========sinA+sinBsinC2sin(2A+B)cos(2AB)2sin2Ccos2C2cos(2C)cos(2AB)2sin2Ccos2C2cos(2C)[cos(2AB)2sin2C]2cos(2C)[cos(2AB)2cos(2A+B)]2cos(2C)[2sin21(2AB+A+B)sin21(2ABAB)]2cos(2C)[2sin21Asin(2B)]2cos(2C)[2sin21Asin(2B)]2cos(2C)[2sin21Asin2B]4sin(2A)sin(2B)cos(2C)(terbukti)

Dengan demikian benar bahwa SinA+sinBsinC=4sin(2A)sin(2B)cos(2C)

 

0

Roboguru

Jika A+B+C=π, tunjukkan bahwa   sin(2A​)+sin(2B​)+sin(2C​)=1+4sin(4π−A​)sin(4π−B​)sin(4π−C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus penjumlahan dan selisih trigonometri

sinα+sinβ=2sin21(α+β)cos21(αβ)cosαcosβ=2sin21(α+β)sin21(αβ)

Sudut berelasi I 

sin(90α)sin(x)==cosαsinx

Sudut rangkap pada cosinus

cos2A=12sin2A

Dari soal diketahui

A+B+CC2Csin2C=====ππ(A+B)2π2(A+B)sin(2π2(A+B))cos(2A+B)

Sehingga 

sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=(sin(2A)+sin(2B))+sin(2C)=2sin21(2A+2B)cos21(2A2B)+sin(2π2A+B)=2sin(4A+B)cos(4AB)+cos(2A+B)=2sin(4A+B)cos(4AB)+12sin2(4A+B)=1+2sin(4π4C)[cos(4AB)sin(4A+B)]=1+2sin(4πC)[cos(4AB)cos(2π(4A+B))]=1+2sin(4πC)[cos(4AB)cos(42π4(A+B))]=1+2sin(4πC)[2sin21(4AB+(42πAB))sin21(4AB(42πAB))]=1+2sin(4πC)[2sin21(42π2B)sin21(42A2π)]=1+2sin(4πC)[2sin(4πB)sin(4(πA))]=1+2sin(4πC)[2sin(4πB)sin(4πA)]=1+2sin(4πC)[2sin(4πB)sin(4πA)]=1+4sin(4πA)sin(4πB)sin(4πC)

Dengan demikian benar bahwa SinA+sinB+sinC=4cos(2A)cos(2B)cos(2C)

 

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved