Pertanyaan

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut.

$sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

dalam △ A BC dapat ditunjukkan bahwa sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C .

dalam

△ A BC

dapat ditunjukkan bahwa

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C

Pembahasan

Ingat rumus sudut ganda serta jumlah dan selisihtrigonometri berikut ini: sin 2 A = 2 sin A cos A sin A + sin B = 2 sin 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) cos A − cos B = 2 sin 2 1 ( A + B ) sin 2 1 ( A − B ) Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil: sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 sin A cos A + ( sin 2 B + sin 2 C ) = 2 sin A cos A + ( 2 sin 2 1 ( 2 B + 2 C ) cos 2 1 ( 2 B − 2 C ) ) = 2 sin A cos A + ( 2 sin ( B + C ) cos ( B − C ) ) = 2 sin A cos A + ( 2 sin ( 18 0 ∘ − A ) cos ( B − C ) ) ( A , B , C sudut dalam segitiga sehingga A + B + C = 18 0 ∘ ) = 2 sin A cos A + ( 2 sin A cos ( B − C ) ) ( sin ( 18 0 ∘ − A ) = sin A ) = 2 sin A cos A + 2 sin A cos ( B − C ) = 2 sin A ( cos A + cos ( B − C ) ) = 2 sin A ( cos ( 18 0 ∘ − ( B + C ) ) + cos ( B − C ) ) ( A , B , C sudut dalam segitiga sehingga A + B + C = 18 0 ∘ ) = 2 sin A ( − cos ( B + C ) + cos ( B − C ) ) ( cos ( 18 0 ∘ − ( B + C ) ) = − cos ( B + C ) ) = 2 sin A ( cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ) = 2 sin A ( − 2 sin 2 1 ( B − C + B + C ) sin 2 1 ( B − C − ( B + C ) ) ) = 2 sin A ( − 2 sin 2 1 ( 2 B ) sin 2 1 ( B − C − B − C ) ) = 2 sin A ( − 2 sin 2 1 ( 2 B ) sin 2 1 ( − 2 C ) ) = 2 sin A ( − 2 sin B sin ( − C ) ) = 2 sin A ( − 2 sin B ( − sin C ) ) ( sin ( − C ) = − sin C ) = 2 sin A ( 2 sin B sin C ) = 4 sin A sin B sin C Jadi, dalam △ A BC dapat ditunjukkan bahwa sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C .

Ingat rumus sudut ganda serta jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

$sin 2 A = 2 sin A cos A$

$sin A + sin B = 2 sin \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)$

$cos A - cos B = 2 sin \frac{1}{2} (A + B) sin \frac{1}{2} (A - B)$

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

$sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 sin A cos A + (sin 2 B + sin 2 C) = 2 sin A cos A + (2 sin \frac{1}{2} (2 B + 2 C) cos \frac{1}{2} (2 B - 2 C)) = 2 sin A cos A + (2 sin (B + C) cos (B - C)) = 2 sin A cos A + (2 sin (18 0^{\circ} - A) cos (B - C)) (A, B, C sudut dalam segitiga sehingga A + B + C = 18 0^{\circ}) = 2 sin A cos A + (2 sin A cos (B - C)) (sin (18 0^{\circ} - A) = sin A) = 2 sin A cos A + 2 sin A cos (B - C) = 2 sin A (cos A + cos (B - C)) = 2 sin A (cos (18 0^{\circ} - (B + C)) + cos (B - C)) (A, B, C sudut dalam segitiga sehingga A + B + C = 18 0^{\circ}) = 2 sin A (- cos (B + C) + cos (B - C)) (cos (18 0^{\circ} - (B + C)) = - cos (B + C)) = 2 sin A (cos (B - C) - cos (B + C)) = 2 sin A (- 2 sin \frac{1}{2} (B - C + B + C) sin \frac{1}{2} (B - C - (B + C))) = 2 sin A (- 2 sin \frac{1}{2} (2 B) sin \frac{1}{2} (B - C - B - C)) = 2 sin A (- 2 sin \frac{1}{2} (2 B) sin \frac{1}{2} (- 2 C)) = 2 sin A (- 2 sin B sin (- C)) = 2 sin A (- 2 sin B (- sin C)) (sin (- C) = - sin C) = 2 sin A (2 sin B sin C) = 4 sin A sin B sin C$

Jadi, dalam $△ A BC$ dapat ditunjukkan bahwa $sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan himpunan penyelesaian tiap persamaan berikut untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 36 0 ∘ . a. sin 2 x + sin ( 2 x − 3 0 ∘ ) = 0

150

0.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri: a. csc 1 0 ∘ + csc 5 0 ∘ − csc 7 0 ∘

0.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B − sin C sin A + sin B + sin C = co tan ( 2 A ) co tan ( 2 B )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

0.0

Jawaban terverifikasi