Pertanyaan

Carilah jari-jari lingkaran yang menyinggung garis 3 x − y = 6 pada titik ( 1 , − 3 ) dan juga menyinggung garis y = x . ( Petunjuk: biarkan jawabannya dalam bentuk akar).

Carilah jari-jari lingkaran yang menyinggung garis $3 x - y = 6$ pada titik $(1, - 3)$ dan juga menyinggung garis $y = x$ . (Petunjuk: biarkan jawabannya dalam bentuk akar).

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jari-jari lingkaran tersebut r 1 = 10 2 + 4 10 atau r 2 = − 10 2 + 4 10 .

jari-jari lingkaran tersebut

r_{1} = 102 + 410 atau r_{2} = - 102 + 410

Pembahasan

Jika lingkaran menyinggung garis A x + B y + C = 0 , maka jarak titik pusat ( a , b ) ke garis merupakan jari-jari lingkaran dan jari-jari tersebut tegak lurus terhadap garis singgung tersebut. Panjang jari-jari ditentukan dengan rumus jarak titik ke garis sebagai berikut: r = ∣ ∣ A 2 + B 2 A a + B b + C ∣ ∣ Diketahui lingkaran menyinggung garis 3 x − y − 6 = 0 dan x − y = 0 . Sehingga, ∣ ∣ 3 2 + ( − 1 ) 2 3 a − b − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ 10 3 a − b − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 3 a − b − 6 ∣ ∣ = = = ∣ ∣ 1 2 + 1 2 a − b ∣ ∣ ∣ ∣ 2 a − b ∣ ∣ ∣ a − b ∣ ... ( 1 ) Selanjutnya, jari-jari lingkaran yang dibentuk dari titik pusat ( a , b ) ke titik singgung ( 1 , − 3 ) tegak lurus dengan garis singgung 3 x − y = 6 → m 1 = 3 . Sehingga, m 1 ⋅ m 2 3 ⋅ a − 1 b − ( − 3 ) 3 b + 9 a = = = = − 1 − 1 1 − a − 3 b − 8... ( 2 ) Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), ∣ ∣ 5 3 a − b − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 3 ( − 3 b − 8 ) − b − 6 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 10 b − 30 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 5 b + 15 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 b + 3 5 ∣ ∣ 5 b 2 + 30 b + 45 b 2 + 14 b + 29 = = = = = = = ∣ a − b ∣ ∣ ( − 3 b − 8 ) − b ∣ ∣ − 4 b − 8 ∣ ∣ 2 b + 4 ∣ ∣ 2 b + 4 ∣ 4 b 2 + 16 b + 16 0 Selanjutnya gunakan rumus mencari akar persamaan kuadrat, b 1 , 2 = = = = 2 ⋅ 1 − 14 ± 1 4 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 29 2 − 14 ± 80 2 − 14 ± 4 5 − 7 ± 2 5 Oleh karena itu, diperoleh jari-jari lingkaran tersebut adalah r r 1 r 2 = = = = = = = = = = ∣ ∣ 2 a − b ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 3 b − 8 − b ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 4 b − 8 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 4 b + 8 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 4 ( − 7 ± 2 5 ) + 8 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 28 ± 8 5 + 8 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 20 ± 8 5 ∣ ∣ ∣ ∣ − 10 2 ± 4 10 ∣ ∣ 10 2 + 4 10 − 10 2 + 4 10 Dengan demikian, jari-jari lingkaran tersebut r 1 = 10 2 + 4 10 atau r 2 = − 10 2 + 4 10 .

Jika lingkaran menyinggung garis $A x + B y + C = 0$ , maka jarak titik pusat $(a, b)$ ke garis merupakan jari-jari lingkaran dan jari-jari tersebut tegak lurus terhadap garis singgung tersebut. Panjang jari-jari ditentukan dengan rumus jarak titik ke garis sebagai berikut:

$r = ∣ ∣ \frac{A a + B b + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣$

Diketahui lingkaran menyinggung garis $3 x - y - 6 = 0$ dan $x - y = 0$ . Sehingga,

$∣ ∣ \frac{3 a - b - 6}{3 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{3 a - b - 6}{10} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{3 a - b - 6}{5} ∣ ∣ = = = ∣ ∣ \frac{a - b}{1 ^{2} + 1 ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{a - b}{2} ∣ ∣ ∣ a - b ∣ ... (1)$

Selanjutnya, jari-jari lingkaran yang dibentuk dari titik pusat $(a, b)$ ke titik singgung $(1, - 3)$ tegak lurus dengan garis singgung $3 x - y = 6 \to m_{1} = 3$ . Sehingga,

$m_{1} \cdot m_{2} 3 \cdot \frac{b - ( - 3 )}{a - 1} 3 b + 9 a = = = = - 1 - 1 1 - a - 3 b - 8... (2)$

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1),

$∣ ∣ \frac{3 a - b - 6}{5} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{3 ( - 3 b - 8 ) - b - 6}{5} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 10 b - 30}{5} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{5 b + 15}{5} ∣ ∣ ∣ ∣ 5 b + 35 ∣ ∣ 5 b^{2} + 30 b + 45 b^{2} + 14 b + 29 = = = = = = = ∣ a - b ∣ ∣ (- 3 b - 8) - b ∣ ∣ - 4 b - 8 ∣ ∣ 2 b + 4 ∣ ∣ 2 b + 4 ∣ 4 b^{2} + 16 b + 16 0$

Selanjutnya gunakan rumus mencari akar persamaan kuadrat,

$b_{1, 2} = = = = \frac{- 14 \pm 1 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 29}{2 \cdot 1} \frac{- 14 \pm 80}{2} \frac{- 14 \pm 4 5}{2} - 7 \pm 25$

Oleh karena itu, diperoleh jari-jari lingkaran tersebut adalah

$r r_{1} r_{2} = = = = = = = = = = ∣ ∣ \frac{a - b}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 3 b - 8 - b}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 4 b - 8}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{4 b + 8}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{4 ( - 7 \pm 2 5 ) + 8}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 28 \pm 8 5 + 8}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 20 \pm 8 5}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ - 102 \pm 410 ∣ ∣ 102 + 410 - 102 + 410$