Roboguru

Buktikanlah setiap identitas berikut. cos5θ+cosθsin5θ+sinθ​=tan3θ

Pertanyaan

Buktikanlah setiap identitas berikut.

cos5θ+cosθsin5θ+sinθ=tan3θ

 

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sinA+sinB2sin21(A+B)cos21(AB)

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

cos5θ+cosθsin5θ+sinθ=====2cos21(5θ+θ)cos21(5θθ)2sin21(5θ+θ)cos21(5θθ)cos21(6θ)sin21(6θ)cos21(4θ)cos21(4θ)cos3θsin3θcos2θcos2θcos3θsin3θ.1tan3θ

Jadi, terbukti bahwa cos5θ+cosθsin5θ+sinθ=tan3θ.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

D. Rajib

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Jika  tan3θ=2, hitunglah bentuk berikut ini dengan tidak menggunakan tabel matematika maupun kalkulator . cosθ+cos3θ+sin5θsinθ+sin3θ+sin5θ​

Pembahasan Soal:

sebelumnya diasumsikan bahwa sin5θ pada penyebut seharusnya cos5θ sehingga soal tersebut menjadi 

cosθ+cos3θ+cos5θsinθ+sin3θ+sin5θ

Ingat bahwa :

Rumus Identitas Trigonometri

tanA=cosAsinA

Rumus jumlah dan selisihTrigonometri 

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)cosA+cosB=2cos21(A+b)cos21(AB)

Sehingga 

cosθ+cos3θ+cos5θsinθ+sin3θ+sin5θ======(cos5θ+cosθ)+cos3θ(sin5θ+sinθ)+sin3θ2cos21(5θ+θ)cos21(5θθ)+cos3θ2sin21(5θ+θ)cos21(5θθ)+sin3θ2cos3θcos2θ+cos3θ2sin3θcos2θ+sin3θcos3θ(cos2θ+1)sin3θ(cos2θ+1)tan3θ2

Dengan demikian nilai cosθ+cos3θ+cos5θsinθ+sin3θ+sin5θ adalah 2

 

0

Roboguru

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cosθ(sinB+sinC)=sinABuktikan bahwa   tan22θ​=tan(2B​)tan(2C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Sudut berelasi

sin(90α)sin(180α)sin(α)cos(α)====cosαsinαsinαcosα

Identitas trigonometri

tanA=cosAsinA

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Rumus sudut setenga pada tangen

tan22α=1+sinα1cosα

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CA+BCsin2Csin(2A+B)=========180180C180(A+B)sin(2180(A+B))sin(90(2A+B))cos(2A+B)sin(2180C)sin(90C)cos2C

Dari soal diketahui

cosθ(sinB+sinC)cosθ==sinAsinB+sinCsinA

Sebelumnya akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari sinA+sinB+sinC

=======sinA+sinB+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)+sinC2cos2Ccos(2AB)+2sin2Ccos2C2cos2C[cos(2AB)+sin2C]2cos2C[cos(2AB)+cos(2A+B)]2cos2C[2cos21(2AB+A+B)cos21(2ABAB)]2cos2C[2cos(42A)cos(42B)]4cos2Acos2Bcos2C

Dengan cara yang sama diperoleh

sinB+sinCsinA=4cos2Asin2Bsin2C

Maka

tan22θ======1+sinθ1cosθ1+sinB+sinA1sinB+sinCsinAsinB+sinCsinB+sinC+sinAsinB+sinCsinB+sinCsinAsinB+sinC+sinAsinB+sinCsinA4cos2Acos2Bcos2C4cos2Asin2Bsin2Ctan(2B)tan(2C)(terbukti)

Dengan demikian terbukti bahwa tan22θ=tan(2B)tan(2C)

 

0

Roboguru

Buktikanlah setiap identitas berikut. coss+cotantsins+sint​=tan(2s+t​)

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Pada soal di atas, persamaan tersebut tidak terbukti, jadi kita asumsikan bagian penyebutnya bukan cotant melainkan cost sehingga soalnya menjadi 

coss+costsins+sint=tan(2s+t).

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

coss+costsins+sint=====2cos21(s+t)cos21(st)2sin21(s+t)cos21(st)cos21(s+t)sin21(s+t)cos21(st)cos21(st)cos21(s+t)sin21(s+t)1cos21(s+t)sin21(s+t)tan(2s+t)


Jadi, terbukti bahwa coss+costsins+sint=tan(2s+t).

0

Roboguru

Buktikanlah setiap identitas berikut. cosβ+cos3β+cos5βsinβ+sin3β+sin5β​=tan3β

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

cosβ+cos3β+cos5βsinβ+sin3β+sin5β=(cos5β+cosβ)+cos3β(sin5β+sinβ)+sin3β=(2cos21(5β+β)cos21(5ββ))+cos3β(2sin21(5β+β)cos21(5ββ))+sin3β=(2cos21(6β)cos21(4β))+cos3β(2sin21(6β)cos21(4β))+sin3β=(2cos3βcos2β)+cos3β(2sin3βcos2β)+sin3β=cos3β(2cos2β+1)sin3β(2cos2β+1)=cos3βsin3β(2cos2β+1)(2cos2β+1)=cos3βsin3β1=cos3βsin3β=tan3β


Jadi, terbukti bahwa cosβ+cos3β+cos5βsinβ+sin3β+sin5β=tan3β.

0

Roboguru

Tunjukkan bahwa: cos3∘+cos33∘sin3∘+sin33∘​=tan18∘

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

cos3+cos33sin3+sin33=====2cos21(3+33)cos21(333)2sin21(3+33)cos21(333)cos21(36)sin21(36)cos21(30)cos21(30)cos18sin18cos(15)cos(15)cos18sin18.1tan18

Jadi, dapat ditunjukkan bahwa cos3+cos33sin3+sin33=tan18.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved