Roboguru

Buktikanlah bahwa: c. (sin2x−sinx)(1+2cosx)=sin3x

Pertanyaan

Buktikanlah bahwa:

c. open parentheses sin space 2 x minus sin space x close parentheses open parentheses 1 plus 2 space cos space x close parentheses equals sin space 3 x

Pembahasan Soal:

Ingat:

rightwards double arrow sin space open parentheses A plus B close parentheses equals sin space A space cos space B space plus cos space A space sin space B rightwards double arrow cos space 2 A equals 2 cos squared space A minus 1 rightwards double arrow sin space 2 A equals 2 space sin space A space cos space A

Berdasarkan rumus-rumus di atas, maka

open parentheses sin space 2 x minus sin space x close parentheses open parentheses 1 plus 2 space cos space x close parentheses equals up diagonal strike sin space 2 x end strike space plus 2 space sin space 2 x space cos space x minus sin space x up diagonal strike negative 2 space sin space x space cos space x end strike equals space sin space 2 x space cos space x plus space sin space 2 x space cos space x minus sin space x equals sin space 2 x space cos space x plus space 2 space sin space x space cos space x space cos space x minus sin space x equals sin space 2 x space cos space x plus sin space x space open parentheses 2 space cos squared space x minus 1 close parentheses equals sin space 2 x space cos space x plus sin space x space cos space 2 x equals sin space left parenthesis 2 x plus x right parenthesis equals sin space 3 x

Jadi, terbukti bahwa open parentheses sin space 2 x minus sin space x close parentheses open parentheses 1 plus 2 space cos space x close parentheses equals sin space 3 x.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

H. Janatu

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Terakhir diupdate 06 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Dengan menyatakan 3θ=2θ+θ, buktikan kebenaran setiap bentuk berikut, kemudian tentukan nilai m dan n pada soal (a) dan (b). a. sin3θ=msinθ+nsin3θ

Pembahasan Soal:

Jumlah Dua Sudut pada Sinus

sin space open parentheses alpha plus beta close parentheses equals sin space alpha space cos space beta plus cos space alpha space sin space beta 

Sudut Rangkap pada Sinus dan Cosinus

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 2 alpha end cell equals cell 2 space sin space alpha space cos space alpha end cell row cell cos space 2 alpha end cell equals cell cos squared space alpha minus sin squared space alpha end cell row blank equals cell 2 space cos squared space alpha minus 1 end cell row blank equals cell 1 minus 2 space sin squared space alpha end cell end table 

Akan dibuktikan sin space 3 theta equals m space sin space theta plus n space sin cubed space theta dimana 3 theta equals 2 theta plus theta.

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 3 theta end cell equals cell sin space open parentheses 2 theta plus theta close parentheses end cell row blank equals cell sin space 2 theta space cos space theta plus cos space 2 theta space sin space theta end cell row blank equals cell open parentheses 2 space sin space theta space cos space theta close parentheses space cos space theta plus open parentheses 1 minus 2 space sin squared space theta close parentheses space sin space theta end cell row blank equals cell 2 space sin space theta space cos squared space theta plus sin space theta minus 2 space sin cubed space theta end cell row blank equals cell open parentheses 2 space cos squared space theta plus 1 close parentheses space sin space theta minus 2 space sin cubed space theta end cell row blank equals cell m space sin space theta plus n space sin cubed space theta end cell end table 

Terbukti!

Maka, nilai m dan n adalah:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row m equals cell 2 space cos squared space theta plus 1 end cell row n equals cell negative 2 end cell end table  

Jadi, Error converting from MathML to accessible text. dan table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank n end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table.

0

Roboguru

Diketahui sin(x+15∘)=m dengan 0∘≤x≤15∘. Tentukan ekspresi sin(2x+60∘) dalam m.

Pembahasan Soal:

Ingat,

Sudut Rangkap (Sinus)

sin2A=2sinAcosA

Sudut Rangkap (Cosinus)

cos2A=12sin2A

Rumus Perbandingan Sisi Trigonometri

sinA=miringdepancosA=miringsamping

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Diketahui sin(x+15)=m dengan 0x15 sehingga sisi depan m dan sisi miring 1

Menentukan sisi samping dengan teorema pythagoras

12m2=1m2

Menghitung cos(x+15)

cos(x+15)=miringsamping=11m2=1m2

►Menentukan ekspresi sin(2x+60) dalam m

Diketahui sin(x+15)=m dan cos(x+15)=1m2

Misalkan A=x+15

sehingga 2x+60=2(x+15)+30=2A+30

sin(2x+60)======sin(2A+30)sin2Acos30+cos2Asin30(2sinAcosA)cos30+(12sin2A)sin302m1m2213+(12m2)213m1m2+21m2m2+3m1m2+21

Dengan demikian, ekspresi sin(2x+60) dalam m adalah m2+3m1m2+21. 

0

Roboguru

4. Buktikan bahwa: sin3θ⋅sin3θ+cos3θ⋅cos3θ=cos32θ

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

  • rumus sinus untuk penjumlahan dua sudut: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
  • rumus cosinus untuk penjumlahan dua sudut: cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
  • rumus sinus untuk sudut ganda: sin2α=2sinαcosα
  • rumus cosinus untuk sudut ganda: cos2α=cos2αsin2α
  • identitas trigonometri: sin2α+cos2α=1cos2α=1sin2α, dan sin2α=1cos2α
  • rumus pemfaktoran pangkat tiga: a2b2=(ab)(a+b) dan a3b3=(ab)(a2+b2+ab)

Oleh karena itu, dapat diperoleh rumus berikut:

sin3αsin3α=========sin(2α+α)sin2αcosα+cos2αsinα(2sinαcosα)cosα+(cos2αsin2α)sinα2sinαcos2α+sinαcos2αsin3α3sinαcos2αsin3α3sinα(1sin2α)sin3α3sinα13sinαsin2αsin3α3sinα3sin3αsin3α3sinα4sin3α

dan

cos3αcos3α==========cos(2α+α)cos2αcosαsin2αsinα(2cos2α1)cosα(2sinαcosα)sinα2cos3αcosα2sin2αcosα2cos3αcosα2(1cos2α)cosα2cos3αcosα2(1cos2α)cosα2cos3αcosα21cosα+2cos2αcosα2cos3αcosα2cosα+2cos3α2cos3α+2cos3αcosα2cosα4cos3α3cosα 

sehingga

 ===============sin3θsin3θ+cos3θcos3θ(3sinθ4sin3θ)sin3θ+(4cos3θ3cosθ)cos3θ3sin4θ4sin6θ+4cos6θ3cos4θ4cos6θ4sin6θ3cos4θ+3sin4θ4(cos6θsin6θ)3(cos4θsin4θ)4((cos2θ)3(sin2θ)3)3((cos2θ)2(sin2θ)2)4(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)4(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)14(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)24(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+2cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)(4cos4θ+4sin4θ+4cos2θsin2θ)+(cos2θsin2θ)(3cos4θ3sin4θ6cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ2cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)2(cos2θsin2θ)3(cos2θ)3cos32θ

Dengan demikian, terbukti bahwa sin3θsin3θ+cos3θcos3θ=cos32θ. 

0

Roboguru

Jika A+B+C=π, buktikan bahwa: a. sinA+sinB+sinC=4cos2A​⋅cos2B​⋅cos2C​

Pembahasan Soal:

Ingat kembali rumus:

1.sin(90x)=cosx2.sin(180x)=sinx3.sin2x=2sinxcosxsinx=2sin2xcos2x4.cos2x1+cos2x==2cos2x12cos2x15.sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB  

Dari soal diketahui:

A+B+CA+BC===ππCπ(A+B)

Sehingga,

sinC==sin(πsin(A+B))sin(A+B)

Maka diperoleh perhitungan:

sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)=sinA+sinB+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinAcosB+sinB+cosAsinB=sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)=(2sin2Acos2A)(2cos22B)+(2sin2Bcos2B)(2cos22A)=4sin2Acos2Acos22B+4sin2Bcos2Bcos22A=4cos2Acos2B(sin2Acos2B+sin2Bcos2A)=4cos2Acos2Bsin(2A+2B)=4cos2Acos2Bsin(2A+2B)=4cos2Acos2Bsin21(A+B)=4cos2Acos2Bsin21(πC)=4cos2Acos2Bsin(902C)=4cos2Acos2Bcos2Cterbukti

Jadi, terbukti bahwa, sinA+sinB+sinC=4cos2Acos2Bcos2C .

1

Roboguru

Untuk α+β+γ=π, tunjukkan bahwa sinα+sinβ+sinγ=4cos2α​⋅cos2β​⋅cos2γ​

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa:

rumus sudut berelasi 

sin(90α)sin(180α)==cosαsinα

rumus sudut rangkap pada sinus dan cosinus

sin2AsinAcos2A1+cos2A1+cosA=====2sinAcosA2sin21Acos21A2cos2A12cos2A2cos221A

Jumlah sudut pada sinus

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

Dari soal diketahui

α+β+γα+βγsin2γ======ππγπ(α+β)sin(π(α+β))sin(2π(2α+β))cos(2α+β)

maka

sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+sin(α+β)=sinα+sinβ+(sinαcosβ+cosαsinβ)=sinα+sinαcosβ+sinβ+cosαsinβ=sinα(1+cosβ)+sinβ(1+cosα)=(2sin21αcos21α)(1+2cos221β1)+(2sin21βcos21β)(1+2cos221α1)=(2sin21αcos21α)(2cos221β)+(2sin21βcos21β)(2cos221α)=4sin21αcos21αcos221β+4sin21βcos21βcos221α=4cos21αcos21β(sin21αcos21β+cos21αsin21β)=4cos21αcos21βsin(2α+β)=4cos21αcos21βcos21γ(terbukti)

Dengan demikian terbukti bahwa sinα+sinβ+sinγ=4cos2αcos2βcos2γ

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved