Pertanyaan

Buktikan ∑ i = 1 n ( 3 i − 2 ) = 2 n ( 3 n ) − 1 untuk setiap bilangan asli n !

Buktikan $\sum_{i = 1}^{n} (3 i - 2) = \frac{n ( 3 n ) - 1}{2}$ untuk setiap bilangan asli $n$ !

R. Subakti

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

bernilai salah.

$begin inline style sum from i equals 1 to n of end style open parentheses 3 i minus 2 close parentheses equals fraction numerator n open parentheses 3 n close parentheses minus 1 over denominator 2 end fraction$ bernilai salah.

Pembahasan

Langkah-langkah Prinsip Induksi Matematika: 1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar. 2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k . 3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar. ∑ i = 1 n ( 3 i − 2 ) 1 + 4 + 7 + ... + ( 3 n − 2 ) = = 2 n ( 3 n ) − 1 2 n ( 3 n ) − 1 Pembuktiannya sebagai berikut: 1.Buktikan untuk n = 1 adalah benar. 3 ( 1 ) − 2 1 1 = = = 2 1 ( 3 ( 1 ) ) − 1 2 2 1 Langkah pertama terbukti ya, karena ruas kiri dan kanannya sama 2.Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k. Pernyataan tersebutkita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah yang ketiga. 3.Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar. 1 + 4 + 7 + ... + ( 3 k − 2 ) + ( 3 ( k + 1 ) − 2 ) 2 k ( 3 k ) − 1 + ( 3 ( k + 1 ) − 2 ) 2 3 k 2 − 1 + 2 6 ( k + 1 ) − 4 2 3 k 2 − 1 + 6 k + 6 − 4 2 3 ( k 2 + 2 k + 1 ) − 2 2 3 ( k + 1 ) 2 − 2 = = = = = = 2 ( k + 1 ) ( 3 ( k + 1 ) ) − 1 2 3 ( k + 1 ) 2 − 1 2 3 ( k + 1 ) 2 − 1 2 3 ( k + 1 ) 2 − 1 2 3 ( k + 1 ) 2 − 1 2 3 ( k + 1 ) 2 − 1 Karena ruas kiri dan kanannya tidaksama, berarti pernyataan n = k + 1 bernilai salah. Jadi bernilai salah.

Langkah-langkah Prinsip Induksi Matematika:

1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar.

2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k.

3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar.

$\sum_{i = 1}^{n} (3 i - 2) 1 + 4 + 7 + ... + (3 n - 2) = = \frac{n ( 3 n ) - 1}{2} \frac{n ( 3 n ) - 1}{2}$

Pembuktiannya sebagai berikut:

1.Buktikan untuk n = 1 adalah benar.

$3 (1) - 2 11 = = = \frac{1 ( 3 ( 1 ) ) - 1}{2} \frac{2}{2} 1$

Langkah pertama terbukti ya, karena ruas kiri dan kanannya sama

2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k.

$1 plus 4 plus 7 plus... plus open parentheses 3 k minus 2 close parentheses equals fraction numerator k open parentheses 3 k close parentheses minus 1 over denominator 2 end fraction$

Pernyataan tersebut kita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah yang ketiga.

3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar.

$1 + 4 + 7 + ... + (3 k - 2) + (3 (k + 1) - 2) \frac{k ( 3 k ) - 1}{2} + (3 (k + 1) - 2) \frac{3 k ^{2} - 1}{2} + \frac{6 ( k + 1 ) - 4}{2} \frac{3 k ^{2} - 1 + 6 k + 6 - 4}{2} \frac{3 ( k ^{2} + 2 k + 1 ) - 2}{2} \frac{3 ( k + 1 ) ^{2} - 2}{2} = = = = = = \frac{( k + 1 ) ( 3 ( k + 1 ) ) - 1}{2} \frac{3 ( k + 1 ) ^{2} - 1}{2} \frac{3 ( k + 1 ) ^{2} - 1}{2} \frac{3 ( k + 1 ) ^{2} - 1}{2} \frac{3 ( k + 1 ) ^{2} - 1}{2} \frac{3 ( k + 1 ) ^{2} - 1}{2}$

Karena ruas kiri dan kanannya tidak sama, berarti pernyataan $n = k + 1$ bernilai salah.

Jadi $begin inline style sum from i equals 1 to n of end style open parentheses 3 i minus 2 close parentheses equals fraction numerator n open parentheses 3 n close parentheses minus 1 over denominator 2 end fraction$ bernilai salah.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap notasi sigma berikut. a. k = 1 ∑ n k 2 + k 1 = n + 1 n

1.0

Jawaban terverifikasi

Buktikanlah. d. k = 1 ∑ n 2 k − 1 2 k − 1 = 6 − 2 n − 1 2 n + 3

4.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan pernyataan 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 2 ( n + 2 1 ) 2 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi