Roboguru

Buktikan pernyataan berikut:

Pertanyaan

Buktikan pernyataan berikut:

begin mathsize 14px style 1 over 1 squared plus 1 over 2 squared plus 1 over 3 squared plus... plus 1 over n squared less or equal than 2 minus 1 over n end style

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

12112111   

Benar untuk n equals 1.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n=k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

121+221+321+...+k212k1  

3. Untuk n=k+1 akan dibuktikan:

121+221+321+...+(k+1)212k+11 

Maka:

121+221+...+k21+(k+1)212k1+(k+1)212(k1(k+1)21)2(k(k+1)2(k+1)2k)2(k(k+1)2k2+2k+1k)2(k(k+1)2k2+k+1)2(k(k+1)2k2+k)2(k(k+1)2k(k+1))2k+11  

Benar untuk n=k+1.

Dengan demikian, pernyataaan begin mathsize 14px style 1 over 1 squared plus 1 over 2 squared plus 1 over 3 squared plus... plus 1 over n squared less or equal than 2 minus 1 over n end style merupakan pernyataaan benar.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 12 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Prove by mathematical induction that .

Pembahasan Soal:

Pembuktian menggunakan induksi matematika dimana untuk n = 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from straight r equals 1 to straight n of 2 straight r end cell greater than cell straight n squared end cell row cell sum from straight r equals 1 to 1 of 2.1 end cell greater than cell 1 squared end cell row 2 greater than cell 1 rightwards arrow terbukti space end cell end table

untuk n = k dimana diasumsikan terbukti maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from straight r equals 1 to straight n of 2 straight r end cell greater than cell straight n squared end cell row cell sum from straight r equals 1 to straight k of 2 straight r end cell greater than cell straight k squared rightwards arrow terbukti end cell end table

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight k squared plus 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis end cell greater than cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis squared end cell row cell straight k squared plus 2 straight k plus 2 end cell greater than cell straight k squared plus 2 straight k plus 1 rightwards arrow terbukti end cell end table

Jadi terbukti sum from straight r equals 1 to straight n of 2 straight r greater than straight n squared karena sisi kira lebih besar dari sisi kanan

 

 

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut untuk semua bilangan asli .

Pembahasan Soal:

untuk semua bilangan asli undefined, akan dibuktikan

begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of n end fraction less than 2 square root of n end style

Langkah 1, perlihatkan untuk n equals 1 bernilai benar.

n equals 1 rightwards arrow fraction numerator 1 over denominator square root of 1 end fraction less than 2 square root of 1 space text (benar) end text

Langkah 2. Asumsu n=k benar untuk 

P subscript k identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of k end fraction less than 2 square root of k 

Langkah3. akan dibuktikan benar untuk n=k+1

begin mathsize 12px style P subscript k plus 1 end subscript identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of k end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction less than 2 square root of k plus 1 end root end style

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 square root of k plus fraction numerator 1 over denominator square root of k plus 1 end root end fraction end cell less than cell 2 square root of k plus 1 end root space left parenthesis text dikali  end text square root of k plus 1 end root right parenthesis end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root plus 1 end cell less than cell 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root plus 1 end cell less than cell 2 k plus 2 space text (kedua ruas dikurang 1) end text end cell row cell 2 square root of k squared plus k end root end cell less than cell 2 k plus 1 text  (kedua ruas dikuadratkan) end text end cell row cell 4 left parenthesis k squared plus k right parenthesis end cell less than cell open parentheses 2 k plus 1 close parentheses squared end cell row cell 4 k squared plus 4 k end cell less than cell 4 k squared plus 4 k plus 1 end cell end table

Dengan demikian, terbukti bahwa  begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 over 1 plus fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator square root of 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator square root of n end fraction less than 2 square root of n end style.

Roboguru

Show that n2(n−1)>2n+1 for all natural number .

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

32(31)9(2)18>>>2(3)+177  

Benar untuk n equals 1.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n=k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

k2(k1)>2k+1   

3. Untuk n=k+1 akan dibuktikan

(k+1)2((k+1)1)>2(k+1)+1 

Maka:

k2(k1)k3k2k3k2k3k2+(3k2+k)k3+2k2+kk(k+2k+1)k(k+1)2(k+1)2k(k+1)2((k+1)1)>>>>>>>>>2k+12k12k12k1+(3k2+k)2k2+3k12k2+3k1+(2k2k+4)(dengann3)2k+32k+2+12(k+1)+1     

Dengan demikian, untuk setiap bilangan asli n3 berlaku n2(n1)>2n+1.

Roboguru

Pernyataan  selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....

Pembahasan Soal:

Karena

begin mathsize 14px style straight P subscript straight n blank colon 4 minus 2 straight n less than 2 to the power of straight n end style 

Maka, untuk = 0 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 0 blank colon 4 minus 2 times 0 less than 2 to the power of 0 end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 0 = 4 - 0 = 4  .
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 to the power of 0 equals 1 end style 
Karena ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka begin mathsize 14px style straight P subscript 0 end style bernilai salah.

Selanjutnya, untuk = 1 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 1 blank colon 4 minus 2 times 1 less than 2 to the power of 1 end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 1 = 4 - 2 = 2 
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 to the power of 1 equals 2 end style 
Karena ruas kiri tidak lebih kecil dari ruas kanan, maka undefined bernilai salah.

Selanjutnya, untuk = 2 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 2 blank colon 4 minus 2 times 2 less than 2 squared end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 2 = 4 - 4 = 0
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 squared equals 4 end style 
Karena ruas kiri lebih kecil dari ruas kanan, maka begin mathsize 14px style straight P subscript 2 end style bernilai benar.

Selanjutnya, untuk = 3 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 3 blank colon 4 minus 2 times 3 less than 2 cubed end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 3 = 4 - 6 = -2 .
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 cubed equals 8 end style 
Karena ruas kiri lebih kecil dari ruas kanan, maka undefined bernilai benar.

Selanjutnya, untuk = 4 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 1 blank colon 4 minus 2 times 4 less than 2 to the power of 4 end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 4 = 4 - 8 = -4 .
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 to the power of 4 equals 16 end style 
Karena ruas kiri lebih kecil dari ruas kanan, maka undefined bernilai benar.

Sehingga, kemungkinan undefined bernilai benar untuk bilangan bulat ≥ 2 . Oleh karena itu, kita perlu membuktikan untuk sembarang bilangan bulat k  2 , jika undefined bernilai benar mengakibatkan undefined bernilai benar.

Karena

undefined 

maka

begin mathsize 14px style straight P subscript straight k blank colon 4 minus 2 straight k less than 2 to the power of straight k end style 

dan

begin mathsize 14px style straight P subscript straight k plus 1 end subscript blank colon 4 minus 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses less than 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end style 

Dari ruas kiri undefined 

begin mathsize 14px style 4 minus 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses equals 4 minus 2 straight k minus 2 less than 2 to the power of straight k minus 2 end style 

Perhatikan bahwa untuk ≥ 2, maka begin mathsize 14px style negative 2 less than 2 to the power of straight k end style sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 minus 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell less than cell 2 to the power of straight k minus 2 end cell row blank less than cell 2 to the power of straight k plus 2 to the power of straight k end cell row blank equals cell 2 times 2 to the power of straight k end cell row blank equals cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell end table end style 

Kita dapatkan undefined bernilai benar.

Karena

  1. undefined benar.
  2. Untuk sembarang bilangan bulat ≥ 2 , jika undefined bernilai benar mengakibatkan straight P subscript straight k plus 1 end subscript bernilai benar.

Maka, undefined benar untuk setiap bilangan bulat ≥ 2  menurut prinsip induksi matematika.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut!  2n > n2 untuk setiap bilangan bulat n > 4. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pembahasan Soal:

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan bulat n > 4, yaitu n ≥ 5, maka langkah pertamanya adalah buktikan P5 benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan P5 benar.

Perhatikan pernyataan

undefined   

maka

undefined   

Ruas kiri = undefined  

Ruas kanan = undefined   

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P5 benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan bulat k > 4, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  

Asumsikan

undefined   

bernilai benar.

Perhatikan

undefined  

Dari ruas kiri Pk+1

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 2 to the power of k plus 1 end exponent equals 2 times 2 to the power of k greater than 2 k squared equals k squared plus k squared end cell end table end style      

Karena k > 4, maka begin mathsize 14px style k squared greater than 4 k end style, sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater than cell k squared plus k squared end cell row blank greater than cell k squared plus 4 k end cell row blank greater than cell k squared plus 3 k end cell row blank equals cell k squared plus 2 k plus k end cell end table end style     

Karena k > 4, maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell greater than cell k squared plus 2 k plus k end cell row blank greater than cell k squared plus 2 k plus 4 end cell row blank greater than cell k squared plus 2 k plus 1 end cell row blank equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses squared end cell end table end style     

Maka begin mathsize 14px style 2 to the power of k plus 1 end exponent greater than open parentheses k plus 1 close parentheses squared end style.   

Sehingga, Pk+1 bernilai benar.

 

Karena

1.    P5 benar, dan

2.    Untuk sembarang bilangan bulat k > 4, jika Pk benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka Pn benar untuk setiap bilangan bulat n > 4, menurut prinsip induksi matematika.

 

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved