Pertanyaan

Buktikan pernyataan berikut: 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + ... + n 2 1 ≤ 2 − n 1

Buktikan pernyataan berikut:

$\frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + ... + \frac{1}{n ^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}$

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

pernyataaan merupakan pernyataaan benar.

pernyataaan begin mathsize 14px style 1 over 1 squared plus 1 over 2 squared plus 1 over 3 squared plus... plus 1 over n squared less or equal than 2 minus 1 over n end style

begin mathsize 14px style 1 over 1 squared plus 1 over 2 squared plus 1 over 3 squared plus... plus 1 over n squared less or equal than 2 minus 1 over n end style

merupakan pernyataaan benar.

Pembahasan

Langkah-langkah induksi: 1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar. 1 2 1 1 ≤ ≤ 2 − 1 1 1 Benar untuk . 2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n = k , pernyataan tersebut diasumsikan benar. 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + ... + k 2 1 ≤ 2 − k 1 3. Untuk n = k + 1 akan dibuktikan: 1 2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + ... + ( k + 1 ) 2 1 ≤ 2 − k + 1 1 Maka: 1 2 1 + 2 2 1 + ... + k 2 1 + ( k + 1 ) 2 1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 2 − k 1 + ( k + 1 ) 2 1 2 − ( k 1 − ( k + 1 ) 2 1 ) 2 − ( k ( k + 1 ) 2 ( k + 1 ) 2 − k ) 2 − ( k ( k + 1 ) 2 k 2 + 2 k + 1 − k ) 2 − ( k ( k + 1 ) 2 k 2 + k + 1 ) 2 − ( k ( k + 1 ) 2 k 2 + k ) 2 − ( k ( k + 1 ) 2 k ( k + 1 ) ) 2 − k + 1 1 Benar untuk n = k + 1 . Dengan demikian, pernyataaan merupakan pernyataaan benar.

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

$\frac{1}{1 ^{2}} 1 \leq \leq 2 - \frac{1}{1} 1$

Benar untuk n equals 1 .

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya $n = k$ , pernyataan tersebut diasumsikan benar.

$\frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + ... + \frac{1}{k ^{2}} \leq 2 - \frac{1}{k}$

3. Untuk $n = k + 1$ akan dibuktikan:

$\frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + ... + \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} \leq 2 - \frac{1}{k + 1}$

Maka:

$\frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{2}} + ... + \frac{1}{k ^{2}} + \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} \leq \leq \leq \leq \leq \leq \leq \leq 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} 2 - (\frac{1}{k} - \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}}) 2 - (\frac{( k + 1 ) ^{2} - k}{k ( k + 1 ) ^{2}}) 2 - (\frac{k ^{2} + 2 k + 1 - k}{k ( k + 1 ) ^{2}}) 2 - (\frac{k ^{2} + k + 1}{k ( k + 1 ) ^{2}}) 2 - (\frac{k ^{2} + k}{k ( k + 1 ) ^{2}}) 2 - (\frac{k ( k + 1 )}{k ( k + 1 ) ^{2}}) 2 - \frac{1}{k + 1}$

Benar untuk $n = k + 1$ .

Dengan demikian, pernyataaan begin mathsize 14px style 1 over 1 squared plus 1 over 2 squared plus 1 over 3 squared plus... plus 1 over n squared less or equal than 2 minus 1 over n end style merupakan pernyataaan benar.