Roboguru

Diberikan  untuk semua  anggota bilangan asli. Buktikan bahwa

Pertanyaan

Diberikan begin mathsize 14px style 0 less or equal than a subscript i less or equal than b subscript i end style untuk semua begin mathsize 14px style i end style anggota bilangan asli. Buktikan bahwa

begin mathsize 14px style a subscript 1 cross times a subscript 2 cross times... cross times a subscript n less or equal than b subscript 1 cross times b subscript 2 cross times... cross times b subscript n end style

Pembahasan Soal:

Ingat!

Jka a,b,c,d>0 dengan a<bdanc<d berlaku:

a.c<b.d 

Sehingga:

a1b1a2b2anbn 

Maka:

a1×a2×...×anb1×b2×...×bn 

Dengan demikian, dengan begin mathsize 14px style 0 less or equal than a subscript i less or equal than b subscript i end style untuk semua begin mathsize 14px style i end style anggota bilangan asli berlaku begin mathsize 14px style a subscript 1 cross times a subscript 2 cross times... cross times a subscript n less or equal than b subscript 1 cross times b subscript 2 cross times... cross times b subscript n end style.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

For , prove that  implies .

Pembahasan Soal:

membuktikan dengan mensubsitusikan nilai k dengan 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight x to the power of 2 straight k minus 1 end exponent end cell less than cell straight y to the power of 2 straight k minus 1 end exponent end cell row cell straight x to the power of 2.1 minus 1 end exponent end cell less than cell straight y to the power of 2.1 minus 1 end exponent end cell row cell straight x to the power of 2 minus 1 end exponent end cell less than cell straight y to the power of 2 minus 1 end exponent end cell row cell straight x to the power of 1 end cell less than cell straight y to the power of 1 end cell row straight x less than straight y end table

Jadi terbukti karena dari pembuktian untuk k = 1 terbukti

Roboguru

Buktikan bahwa untuk  bilangan asli selalu berlaku: 3n−2≥2n−1

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

31212111   

Benar untuk n equals 1.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

 3n22n13k22k1    

3. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar. 

3k+122k+11 

Kita olah ruas kiri sehingga sama dengan ruas kanan:  

3k23.(3k2)3.3k63.3k6+43.3k23.3k22k13.(2k1)3.2k33.2k3+43.2k+12.2k12.2k1     

Dengan demikian, untuk begin mathsize 14px style n end style bilangan asli selalu berlaku 3n22n1.

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika bahwa ! untuk  bilangan bulat positif yang lebih besar dari .

Pembahasan Soal:

Untuk n = 7 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell less than cell straight n factorial end cell row cell 3 to the power of 7 end cell less than cell 7 factorial end cell row 2187 less than cell 7.6.5.4.3.2.1 end cell row 2187 less than cell 5040 rightwards arrow terbukti end cell end table

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell less than cell straight n factorial end cell row cell 3 to the power of straight k end cell less than cell straight k factorial rightwards arrow terbukti end cell end table

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses straight k plus 1 close parentheses factorial end cell equals cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis. straight k factorial end cell row blank less than cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis. straight k factorial end cell row blank less than cell 3.3 to the power of straight k end cell row blank less than cell 3 to the power of straight k plus 1 end exponent rightwards arrow terbukti end cell end table

Sehingga pada langkah induksi matematika dapat dilihat bahwa kebenaran n = k mengakibatkan n = k+1. Jadi terbukti bahwa 3 to the power of straight n less than straight n!

Roboguru

Tentukan himpunan bilangan asli untuk  agar pernyataan berikut menjadi benar.

Pembahasan Soal:

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa semua bilangan asli n selalu berlaku:  , untuk

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika

Untuk n = 2

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight P subscript straight n end cell identical to cell open parentheses straight n plus 1 close parentheses squared greater than straight n squared plus 4 end cell row cell straight P subscript 2 end cell identical to cell open parentheses 2 plus 1 close parentheses squared greater than 2 squared plus 4 end cell row blank identical to cell 3 squared greater than 4 plus 4 end cell row blank identical to cell 9 greater than 8 rightwards arrow Benar end cell end table

Untuk n = k diasumsikan benar maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight P subscript straight n end cell identical to cell open parentheses straight n plus 1 close parentheses squared greater than straight n squared plus 4 end cell row cell straight P subscript straight k end cell identical to cell open parentheses straight k plus 1 close parentheses squared greater than straight k squared plus 4 rightwards arrow Benar end cell end table

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight P subscript straight n end cell identical to cell open parentheses straight n plus 1 close parentheses squared greater than straight n squared plus 4 end cell row cell straight P subscript straight k plus 1 end subscript end cell identical to cell open parentheses straight k plus 1 plus 1 close parentheses squared greater than left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis squared plus 4 end cell row cell straight P subscript straight k plus 1 end subscript end cell identical to cell open parentheses straight k plus 2 close parentheses squared greater than left parenthesis straight k squared plus 2 straight k plus 1 right parenthesis plus 4 end cell row blank identical to cell open parentheses straight k plus 2 close parentheses squared greater than straight k squared plus 2 straight k plus 5 rightwards arrow Benar end cell end table

Akan dibuktikan rumus kanan maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses straight k plus 2 close parentheses squared end cell equals cell open parentheses straight k plus 2 close parentheses open parentheses straight k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell left parenthesis straight k squared plus 2 straight k plus 2 straight k plus 4 right parenthesis end cell row blank equals cell straight k squared plus 4 straight k plus 4 end cell row blank equals cell straight k squared plus 2 left parenthesis straight k plus 4 right parenthesis rightwards arrow Benar end cell end table

Terbukti karena rumus kanan > dari rumus kiri

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved