Buktikan identitas trigonometri berikut. cos 3 x + cos 5 x sin 3 x − sin 5 x ​ = − tan x

Pembahasan

c o s 3 x + c o s 5 x s i n 3 x − s i n 5 x ​ = − tan x Sisi kiri = Sisi kanan ​ Untuk membuktikan identitas trigonometri tersebut, dapat dilakukan penjabaran salah satu sisi dari sama dengan dan menunjukkan bahwa sisi tersebut dapat membentuk sisi lainnya. Dalam hal ini, akan ditunjukkan bahwa sisi kiri dapat dibentuk sesuai dengan sisi kanan dengan menggunakan rumus selisih sinus dan rumus penjumlahan cosinus. Berikut adalah rumus selisih sinus dan penjumlahan cosinus: sin A − sin B = 2 ⋅ cos ( 2 A + B ​ ) ⋅ sin ( 2 A − B ​ ) cos A + cos B = 2 ⋅ cos ( 2 A + B ​ ) ⋅ cos ( 2 A − B ​ ) Dengan menggunakan kedua rumus di atas, maka sisi kiri dapat diubah bentuknya sebagaimana berikut: c o s 3 x + c o s 5 x s i n 3 x − s i n 5 x ​ ​ = = = ​ 2 ⋅ c o s ( 2 3 x + 5 x ​ ) ⋅ c o s ( 2 3 x − 5 x ​ ) 2 ⋅ co s ( 2 3 x + 5 x ​ ) ⋅ s i n ( 2 3 x − 5 x ​ ) ​ 2 ​ ⋅ c o s ( 2 8 x ​ ) ​ ⋅ c o s ( 2 − 2 x ​ ) 2 ​ ⋅ c o s ( 2 8 x ​ ) ​ ⋅ s i n ( 2 − 2 x ​ ) ​ c o s ( − x ) s i n ( − x ) ​ ​ Ingat kembali bahwa: cos A sin A ​ = tan A tan ( − A ) = − tan A Sehingga, c o s 3 x + c o s 5 x s i n 3 x − s i n 5 x ​ ​ = = = ​ c o s ( − x ) s i n ( − x ) ​ tan ( − x ) − tan x ​ Karena sisi kiri dapat dibentuk menjadi sisi kanan, maka terbukti bahwa identitas trigonometri pada soal benar. Dengan demikian, terbukti bahwa cos 3 x + cos 5 x sin 3 x − sin 5 x ​ = − tan x .