Roboguru

Buktikanlah setiap identitas berikut. cos2α+cos2βsin2α−sin2β​=tan(α−β)

Pertanyaan

Buktikanlah setiap identitas berikut.

cos2α+cos2βsin2αsin2β=tan(αβ)

 

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sinAsinB=2cos21(A+B)sin21(AB)

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

cos2α+cos2βsin2αsin2β====2cos21(2α+2β)cos21(2α2β)2cos21(2α+2β)sin21(2α2β)cos(α+β)cos(αβ)cos(α+β)sin(αβ)cos(αβ)sin(αβ)tan(αβ)

Jadi, terbukti bahwa cos2α+cos2βsin2αsin2β=tan(αβ).

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

D. Rajib

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikanlah setiap identitas berikut. cotan8θ+cotan6θsin8θ−sin6θ​=tanθ

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

cosAcosB=2sin21(A+B)sin21(AB)

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

cotan8θ+cotan6θsin8θsin6θ=sin8θcos8θ+sin6θcos6θ2cos21(8θ+6θ)sin21(8θ6θ)=sin8θsin6θcos8θsin6θ+sin8θcos6θ2cos21(14θ)sin21(2θ)=(21(cos(8θ+6θ)+cos(8θ6θ)))(21(sin(8θ+6θ)sin(8θ6θ)))+(21(sin(8θ+6θ)+sin(8θ6θ)))2cos7θsinθ=cos14θ+cos2θsin14θsin2θ+sin14θ+sin2θ2cos7θsinθ=cos14θ+cos2θ2sin14θ2cos7θsinθ=2cos7θsinθ×2sin14θcos14θ+cos2θ=2cos7θsinθ×22sin7θcos7θcos14θ+cos2θ=sinθ×2sin7θcos2θcos14θ=sinθ×2sin7θ2sin21(2θ+14θ)sin21(2θ14θ)=sinθ×2sin7θ2sin21(16θ)sin21(12θ)=sinθ×2sin7θ2sin8θsin(6θ)=sinθ×2sin7θ2sin8θ(sin6θ)=sinθ×2sin7θ2sin8θsin6θ=sin7θsinθsin6θsin8θ=sin(6θ+θ)sinθsin6θsin8θ


Jadi, tidak dapat dibuktikan bahwa cotan8θ+cotan6θsin8θsin6θ=tanθ, sehingga cotan8θ+cotan6θsin8θsin6θ=tanθ.

0

Roboguru

Buktikanlah setiap identitas berikut. sinα−sinβcosα−cosβ​=−tan(2α+β​)

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

cosAcosB=2sin21(A+B)sin21(AB)

sinAsinB=2cos21(A+B)sin21(AB)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

sinαsinβcosαcosβ====2cos21(α+β)sin21(αβ)2sin21(α+β)sin21(αβ)cos(2α+β)sin(2αβ)sin(2α+β)sin(2αβ)cos(2α+β)sin(2α+β)tan(2α+β)

Jadi, terbukti bahwa sinαsinβcosαcosβ=tan(2α+β).

0

Roboguru

Tunjukkan bahwa: cos3∘+cos33∘sin3∘+sin33∘​=tan18∘

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

cos3+cos33sin3+sin33=====2cos21(3+33)cos21(333)2sin21(3+33)cos21(333)cos21(36)sin21(36)cos21(30)cos21(30)cos18sin18cos(15)cos(15)cos18sin18.1tan18

Jadi, dapat ditunjukkan bahwa cos3+cos33sin3+sin33=tan18.

0

Roboguru

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cosθ(sinB+sinC)=sinABuktikan bahwa   tan22θ​=tan(2B​)tan(2C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Sudut berelasi

sin(90α)sin(180α)sin(α)cos(α)====cosαsinαsinαcosα

Identitas trigonometri

tanA=cosAsinA

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Rumus sudut setenga pada tangen

tan22α=1+sinα1cosα

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CA+BCsin2Csin(2A+B)=========180180C180(A+B)sin(2180(A+B))sin(90(2A+B))cos(2A+B)sin(2180C)sin(90C)cos2C

Dari soal diketahui

cosθ(sinB+sinC)cosθ==sinAsinB+sinCsinA

Sebelumnya akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari sinA+sinB+sinC

=======sinA+sinB+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)+sinC2cos2Ccos(2AB)+2sin2Ccos2C2cos2C[cos(2AB)+sin2C]2cos2C[cos(2AB)+cos(2A+B)]2cos2C[2cos21(2AB+A+B)cos21(2ABAB)]2cos2C[2cos(42A)cos(42B)]4cos2Acos2Bcos2C

Dengan cara yang sama diperoleh

sinB+sinCsinA=4cos2Asin2Bsin2C

Maka

tan22θ======1+sinθ1cosθ1+sinB+sinA1sinB+sinCsinAsinB+sinCsinB+sinC+sinAsinB+sinCsinB+sinCsinAsinB+sinC+sinAsinB+sinCsinA4cos2Acos2Bcos2C4cos2Asin2Bsin2Ctan(2B)tan(2C)(terbukti)

Dengan demikian terbukti bahwa tan22θ=tan(2B)tan(2C)

 

0

Roboguru

Buktikanlah setiap identitas berikut. cosβ+cos3β+cos5βsinβ+sin3β+sin5β​=tan3β

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

cosβ+cos3β+cos5βsinβ+sin3β+sin5β=(cos5β+cosβ)+cos3β(sin5β+sinβ)+sin3β=(2cos21(5β+β)cos21(5ββ))+cos3β(2sin21(5β+β)cos21(5ββ))+sin3β=(2cos21(6β)cos21(4β))+cos3β(2sin21(6β)cos21(4β))+sin3β=(2cos3βcos2β)+cos3β(2sin3βcos2β)+sin3β=cos3β(2cos2β+1)sin3β(2cos2β+1)=cos3βsin3β(2cos2β+1)(2cos2β+1)=cos3βsin3β1=cos3βsin3β=tan3β


Jadi, terbukti bahwa cosβ+cos3β+cos5βsinβ+sin3β+sin5β=tan3β.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved