Buktikanlah setiap identitas berikut. cotan 8 θ + cotan 6 θ sin 8 θ − sin 6 θ ​ = tan θ

Pembahasan

Ingat rumus jumlah dan selisihtrigonometri berikut ini: cos A − cos B = − 2 sin 2 1 ​ ( A + B ) sin 2 1 ​ ( A − B ) sin A + sin B = 2 sin 2 1 ​ ( A + B ) cos 2 1 ​ ( A − B ) Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil: cotan 8 θ + cotan 6 θ s i n 8 θ − s i n 6 θ ​ = sin 8 θ cos 8 θ ​ + sin 6 θ cos 6 θ ​ 2 c o s 2 1 ​ ( 8 θ + 6 θ ) s i n 2 1 ​ ( 8 θ − 6 θ ) ​ = sin 8 θ sin 6 θ cos 8 θ sin 6 θ + sin 8 θ cos 6 θ ​ 2 c o s 2 1 ​ ( 14 θ ) s i n 2 1 ​ ( 2 θ ) ​ = ( 2 1 ​ ( − cos ( 8 θ + 6 θ ) + cos ( 8 θ − 6 θ ) ) ) ( 2 1 ​ ( sin ( 8 θ + 6 θ ) − sin ( 8 θ − 6 θ ) ) ) + ( 2 1 ​ ( sin ( 8 θ + 6 θ ) + sin ( 8 θ − 6 θ ) ) ) ​ 2 c o s 7 θ s i n θ ​ = − cos 14 θ + cos 2 θ sin 14 θ − sin 2 θ + sin 14 θ + sin 2 θ ​ 2 c o s 7 θ s i n θ ​ = − cos 14 θ + cos 2 θ 2 sin 14 θ ​ 2 c o s 7 θ s i n θ ​ = 2 cos 7 θ sin θ × 2 s i n 14 θ − c o s 14 θ + c o s 2 θ ​ = 2 cos 7 θ sin θ × 2 ⋅ 2 s i n 7 θ c o s 7 θ − c o s 14 θ + c o s 2 θ ​ = sin θ × 2 s i n 7 θ c o s 2 θ − c o s 14 θ ​ = sin θ × 2 s i n 7 θ − 2 s i n 2 1 ​ ( 2 θ + 14 θ ) s i n 2 1 ​ ( 2 θ − 14 θ ) ​ = sin θ × 2 s i n 7 θ − 2 s i n 2 1 ​ ( 16 θ ) s i n 2 1 ​ ( − 12 θ ) ​ = sin θ × 2 s i n 7 θ − 2 s i n 8 θ s i n ( − 6 θ ) ​ = sin θ × 2 s i n 7 θ − 2 s i n 8 θ ( − s i n 6 θ ) ​ = sin θ × 2 s i n 7 θ 2 s i n 8 θ s i n 6 θ ​ = s i n 7 θ s i n θ s i n 6 θ s i n 8 θ ​ = s i n ( 6 θ + θ ) s i n θ s i n 6 θ s i n 8 θ ​ ​ Jadi, tidak dapat dibuktikan bahwa cotan 8 θ + cotan 6 θ sin 8 θ − sin 6 θ ​ = tan θ , sehingga cotan 8 θ + cotan 6 θ sin 8 θ − sin 6 θ ​  = tan θ .