Pertanyaan

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika dari pernyataan berikut P ( n ) : 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) dimana n adalah bilangan bulat positif.

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika dari pernyataan berikut

$P (n) : 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$

dimana $n$ adalah bilangan bulat positif.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

benar bahwa dimana adalah bilangan bulat positif.

benar bahwa $begin mathsize 14px style P left parenthesis n right parenthesis colon space 1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus... plus n squared equals fraction numerator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 n plus 1 right parenthesis over denominator 6 end fraction end style$ dimana

adalah bilangan bulat positif.

Pembahasan

Langkah 1 Langkah 2 Andaikan benar, maka: Langkah 3 Akan dibuktikan untuk benar. Sehingga (terbukti) Karena terbukti benar, Jadi, benar bahwa dimana adalah bilangan bulat positif.

Langkah 1

$begin mathsize 14px style untuk space n equals 1 1 squared equals fraction numerator 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction 1 equals fraction numerator 1 open parentheses 2 close parentheses open parentheses 3 close parentheses over denominator 6 end fraction blank 1 equals 1 end style$

Langkah 2

Andaikan benar, maka:

$begin mathsize 14px style 1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus... plus k squared equals fraction numerator k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end style$

Langkah 3

Akan dibuktikan untuk benar. Sehingga

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus... plus k squared plus open parentheses k plus 1 close parentheses squared end cell equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell row cell fraction numerator k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction plus open parentheses k plus 1 close parentheses squared end cell equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell row cell open parentheses k plus 1 close parentheses open square brackets fraction numerator k open parentheses 2 k plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction plus open parentheses k plus 1 close parentheses close square brackets blank end cell equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell row cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k open parentheses 2 k plus 1 close parentheses plus 6 open parentheses k plus 1 close parentheses close parentheses over denominator 6 end fraction blank end cell equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell row cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses 2 k squared plus k plus 6 k plus 6 close parentheses over denominator 6 end fraction blank end cell equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell row cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses 2 k squared plus 7 k plus 6 close parentheses over denominator 6 end fraction blank end cell equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell row cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses 2 k plus 3 close parentheses over denominator 6 end fraction blank end cell equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell row cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 1 plus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 2 plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction blank end cell equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell row cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction blank end cell equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell end table end style$

(terbukti)

Karena terbukti benar, Jadi, benar bahwa $begin mathsize 14px style P left parenthesis n right parenthesis colon space 1 squared plus 2 squared plus 3 squared plus... plus n squared equals fraction numerator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis 2 n plus 1 right parenthesis over denominator 6 end fraction end style$ dimana adalah bilangan bulat positif.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (4 rating)

elwalley

Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap notasi sigma berikut. a. k = 1 ∑ n k 2 + k 1 = n + 1 n

1.0

Jawaban terverifikasi

Buktikanlah. d. k = 1 ∑ n 2 k − 1 2 k − 1 = 6 − 2 n − 1 2 n + 3

4.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan pernyataan 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 2 ( n + 2 1 ) 2 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi