Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika sederhana bahwa untuk setiap n bilangan asli berlaku:  1×21​+1×21​+1×21​+...+n×(n+1)1​=n+1n​

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika sederhana bahwa untuk setiap begin mathsize 14px style n end style bilangan asli berlaku: 

begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator n cross times open parentheses n plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction end style 

Pembahasan Soal:

Misalkan undefined adalah rumus begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 3 cross times 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction end style .

Langkah 1:

Akan dibuktikan undefined benar untuk undefined. Dengan mensubstitusikan undefined ke kedua ruas diperoleh:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator 1 plus 1 end fraction end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell row cell ruas space kiri end cell equals cell ruas space kanan end cell end table end style    

Oleh karena undefined, maka undefined benar untuk undefined.

Langkah 2:

Andaikan undefined benar untuk undefined, yaitu begin mathsize 14px style sum from m equals 1 to k of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator k over denominator k plus 1 end fraction end style bernilai benar, maka akan dibuktikan undefined benar untuk undefined, yaitu: 

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from m equals 1 to k plus 1 of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction end cell equals cell fraction numerator k plus over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator k plus 2 end fraction end cell end table end style 

Bukti:

Untuk undefined, ruas kiri menjadi:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from m equals 1 to k plus 1 of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction end cell equals cell sum from m equals 1 to k of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction plus sum from m equals k plus 1 to k plus 1 of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator k plus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 1 plus 1 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator k plus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k left parenthesis k plus 2 right parenthesis plus k plus 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k squared plus 2 k plus 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator k plus 2 end fraction end cell row blank equals cell ruas space kanan end cell end table end style    

Oleh karena undefined, maka terbukti bahwa begin mathsize 14px style sum from m equals 1 to k plus 1 of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator k plus 1 over denominator k plus 2 end fraction end style.

Oleh karena Langkah 1 dan Langkah 2 keduanya bernilai benar, maka terbukti bahwa begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 3 cross times 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction end style untuk setiap undefined bilangan asli.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

M. Rochmat

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Hasil dari  adalah ....

1

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli n, diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut.       Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika sederhana bahwa untuk setiap n bilangan asli berlaku: 3+33+35+...+32n−1=83​(9n−1)

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. ​=​(1×2×3)+(2×3×4)+(3×4×5)+⋯+n(n+1)(n+2)41​n(n+1)(n+2)(n+3)​

2

Roboguru

Buktikan masing-masing notasi sigma berikut. b. j=1∑n​(3j−2)=23n2−n​

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved