Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika sederhana bahwa untuk setiap n bilangan asli berlaku: 1 × 2 1 + 1 × 2 1 + 1 × 2 1 + ... + n × ( n + 1 ) 1 = n + 1 n

Buktikan dengan induksi matematika sederhana bahwa untuk setiap $n$ bilangan asli berlaku:

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{1 \times 2} + ... + \frac{1}{n \times ( n + 1 )} = \frac{n}{n + 1}$

M. Rochmat

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misalkan adalah rumus . Langkah 1: Akan dibuktikan benar untuk . Dengan mensubstitusikan ke kedua ruas diperoleh: Oleh karena , maka benar untuk . Langkah 2: Andaikan benar untuk , yaitu bernilai benar, maka akan dibuktikan benar untuk , yaitu: Bukti: Untuk , ruas kiri menjadi: Oleh karena , maka terbukti bahwa . Oleh karena Langkah 1 dan Langkah 2 keduanya bernilai benar, maka terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli.

Misalkan adalah rumus $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 3 cross times 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction end style$ .

Langkah 1:

Akan dibuktikan benar untuk . Dengan mensubstitusikan ke kedua ruas diperoleh:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator 1 plus 1 end fraction end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell row cell ruas space kiri end cell equals cell ruas space kanan end cell end table end style$

Oleh karena , maka benar untuk .

Langkah 2:

Andaikan benar untuk , yaitu $begin mathsize 14px style sum from m equals 1 to k of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator k over denominator k plus 1 end fraction end style$ bernilai benar, maka akan dibuktikan benar untuk , yaitu:

Bukti:

Untuk , ruas kiri menjadi:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from m equals 1 to k plus 1 of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction end cell equals cell sum from m equals 1 to k of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction plus sum from m equals k plus 1 to k plus 1 of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator k plus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 1 plus 1 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator k plus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k left parenthesis k plus 2 right parenthesis plus k plus 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k squared plus 2 k plus 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator k plus 2 end fraction end cell row blank equals cell ruas space kanan end cell end table end style$

Oleh karena , maka terbukti bahwa $begin mathsize 14px style sum from m equals 1 to k plus 1 of fraction numerator 1 over denominator m left parenthesis m plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator k plus 1 over denominator k plus 2 end fraction end style$ .

Oleh karena Langkah 1 dan Langkah 2 keduanya bernilai benar, maka terbukti bahwa $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 3 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 3 cross times 4 end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction end style$ untuk setiap bilangan asli.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

226

4.8 (5 rating)

Dzaky Naufal Pradinata

Pembahasan lengkap banget

lailaa

Pembahasan terpotong

Pertanyaan serupa

Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap notasi sigma berikut. a. k = 1 ∑ n k 2 + k 1 = n + 1 n

1.0

Jawaban terverifikasi

Buktikanlah. d. k = 1 ∑ n 2 k − 1 2 k − 1 = 6 − 2 n − 1 2 n + 3

4.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan pernyataan 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 2 ( n + 2 1 ) 2 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi