Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. ( n 3 − n ) habis dibagi 24 untuk semua bilangan asli n .

Buktikan dengan induksi matematika.

$(n^{3} - n)$ habis dibagi $24$ untuk semua bilangan asli $n$ .

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

tidak terbukti bahwa habis dibagi untuk semua bilangan asli .

tidak terbukti bahwa open parentheses n cubed minus n close parentheses

habis dibagi

untuk semua bilangan asli

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akandibuktikan bahwa habis dibagi untuk semua bilangan asli . Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Untuk diperoleh Jadi, benar bahwa habis dibagi Untuk diperoleh Karena tidak habis dibagi sehingga tidak dapat diasumsikan benar. Pernyataan tidak memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian,tidak terbukti bahwa habis dibagi untuk semua bilangan asli .

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan bahwa open parentheses n cubed minus n close parentheses habis dibagi untuk semua bilangan asli .

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

Untuk n equals 1 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 cubed minus 1 end cell equals cell 1 minus 1 end cell row blank equals 0 end table

Jadi, benar bahwa P open parentheses 1 close parentheses habis dibagi

Untuk n equals 2 diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses 2 cubed minus 1 close parentheses end cell equals cell 8 minus 1 end cell row blank equals 7 end table

Karena P open parentheses 2 close parentheses tidak habis dibagi sehingga tidak dapat diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar.

Pernyataan P open parentheses n close parentheses tidak memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, tidak terbukti bahwa open parentheses n cubed minus n close parentheses habis dibagi untuk semua bilangan asli .