Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. k = 1 ∑ n ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) 1 = 2 n + 1 n

Buktikan dengan induksi matematika.

$k = 1 \sum n \frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{n}{2 n + 1}$

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses

benar untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Penyelesaian soal: Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Jadi, benar. Langkah induksi: diasumsikan benar untuk sehingga Akan ditunjukkan bahwa untuk juga benar, sedemikian sehingga Bukti: Jadi, terbukti bahwa benar untuk . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Penyelesaian soal:

$sum from k equals 1 to n of fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k minus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator 2 n plus 1 end fraction$

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 times 1 minus 1 close parentheses open parentheses 2 times 1 plus 1 close parentheses end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator 2 times 1 plus 1 end fraction end cell row cell fraction numerator 1 over denominator 1 times 3 end fraction end cell equals cell 1 third end cell row cell 1 third end cell equals cell 1 third end cell end table$

Jadi, P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals m sehingga

$P open parentheses m close parentheses colon space sum from k equals 1 to m of fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k minus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator m over denominator 2 m plus 1 end fraction$

Akan ditunjukkan bahwa untuk n equals m plus 1 juga benar, sedemikian sehingga

$P open parentheses m plus 1 close parentheses colon sum from k equals 1 to m plus 1 of fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k minus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator open parentheses m plus 1 close parentheses over denominator 2 open parentheses m plus 1 close parentheses plus 1 end fraction$

Bukti:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell sum from k equals 1 to m plus 1 of fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k minus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell sum from k equals 1 to m of fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k minus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses end fraction plus sum from k equals m plus 1 to m plus 1 of fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 k minus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator m over denominator 2 m plus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 open parentheses m plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses m plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator m over denominator 2 m plus 1 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 2 m plus 1 close parentheses open parentheses 2 m plus 3 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator m open parentheses 2 m plus 3 close parentheses plus 1 over denominator open parentheses 2 m plus 1 close parentheses open parentheses 2 m plus 3 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 m squared plus 3 m plus 1 over denominator open parentheses 2 m plus 1 close parentheses open parentheses 2 m plus 3 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 2 m plus 1 close parentheses open parentheses m plus 1 close parentheses over denominator open parentheses 2 m plus 1 close parentheses open parentheses 2 m plus 3 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator m plus 1 over denominator 2 m plus 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator m plus 1 over denominator 2 open parentheses m plus 1 close parentheses plus 1 end fraction end cell end table$

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals m plus 1 .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli.