Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. 2 × 5 1 + 5 × 8 1 + 8 × 11 1 + ⋯ + ( 3 n − 1 ) ( 3 n + 2 ) 1 = 6 n + 4 n

Buktikan dengan induksi matematika.

$\frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \dots + \frac{1}{( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )} = \frac{n}{6 n + 4}$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa Langkah awal: Akan dibuktikan benar untuk Jadi, terbukti bahwa benar. Langkah induksi: Asumsikan benarsehingga diperoleh Akan ditunjukkan bahwa juga benar, sedemikian sehingga Bukti: Jadi, terbukti bahwa benar . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, terbukti bahwa

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

$fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 cross times 8 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 8 cross times 11 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 n minus 1 close parentheses open parentheses 3 n plus 2 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator 6 n plus 4 end fraction$

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 times 1 minus 1 close parentheses open parentheses 3 times 1 plus 2 close parentheses end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator 6 times 1 plus 4 end fraction end cell row cell fraction numerator 1 over denominator 2 times 5 end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator 6 plus 4 end fraction end cell row cell 1 over 10 end cell equals cell 1 over 10 end cell end table$

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga diperoleh

$fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 cross times 8 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 8 cross times 11 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 k minus 1 close parentheses open parentheses 3 k plus 2 close parentheses end fraction equals fraction numerator k over denominator 6 k plus 4 end fraction$

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga

Bukti:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 cross times 8 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 8 cross times 11 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 k minus 1 close parentheses open parentheses 3 k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank blank cell plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator 6 k plus 4 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator 2 open parentheses 3 k plus 2 close parentheses end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k open parentheses 3 k plus 5 close parentheses plus 1 times 2 over denominator 2 open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 3 k squared plus 5 k plus 2 over denominator 2 open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator 6 k plus 10 end fraction end cell row blank blank blank end table$

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, terbukti bahwa