Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. 1 + 3 + 6 + 10 + ⋯ + 2 1 n ( n + 1 ) = 6 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Buktikan dengan induksi matematika.

$1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{1}{2} n (n + 1) = \frac{1}{6} n (n + 1) (n + 2)$

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa Langkah awal: Akan dibuktikan benar untuk Jadi, terbukti bahwa benar. Langkah induksi: Asumsikan benarsehingga diperoleh Akan ditunjukkan bahwa juga benar, sedemikian sehingga 1 + 3 + 6 + 10 + ⋯ + 2 1 k ( k + 1 ) + 2 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ) = 6 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) Bukti: Ruas kanan Ruas kiri 6 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) Karena ruas sebelah kanan=ruas sebelah kiri maka terbukti bahwa benar . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, terbukti bahwa

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

1 plus 3 plus 6 plus 10 plus horizontal ellipsis plus 1 half n open parentheses n plus 1 close parentheses equals 1 over 6 n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses n plus 2 close parentheses

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 half times 1 times open parentheses 1 plus 1 close parentheses end cell equals cell 1 over 6 times 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses end cell row cell 1 half times 2 end cell equals cell 1 over 6 times 2 times 3 end cell row 1 equals 1 end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga diperoleh

1 plus 3 plus 6 plus 10 plus horizontal ellipsis plus 1 half k open parentheses k plus 1 close parentheses equals 1 over 6 k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga

$1 + 3 + 6 + 10 + \dots + \frac{1}{2} k (k + 1) + \frac{1}{2} (k + 1) (k + 2) = \frac{1}{6} (k + 1) (k + 2) (k + 3)$