Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. i = 1 ∑ n i ( i + 1 ) 1 = n + 1 n

Buktikan dengan induksi matematika.

$i = 1 \sum n \frac{1}{i ( i + 1 )} = \frac{n}{n + 1}$

F. Kurnia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Jember

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misalkan . Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut. Dibuktikan benar untuk Jadi, benar untuk diamsusikan benar untuk , sehingga Akan dibuktikan benar untuk Karena untuk ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka benar untuk Dengan demikian, terbukti benaruntuk semua n bilangan asli.

Misalkan .

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

Dibuktikan P subscript n benar untuk n equals 1

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from i equals 1 to n of fraction numerator 1 over denominator i left parenthesis i plus 1 right parenthesis end fraction end cell equals cell fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction end cell row cell fraction numerator 1 over denominator 1 cross times 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator 1 plus 1 end fraction end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half space left parenthesis Benar right parenthesis end cell end table$

Jadi, P subscript n benar untuk n equals 1

P subscript n diamsusikan benar untuk n equals k , sehingga

$sum from i equals 1 to k of fraction numerator 1 over denominator i left parenthesis i plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator k over denominator open parentheses k plus 1 close parentheses end fraction$

Akan dibuktikan P subscript n benar untuk n equals k plus 1

$Ruas space Kiri sum from i equals 1 to k plus 1 of fraction numerator 1 over denominator i left parenthesis i plus 1 right parenthesis end fraction equals sum from i equals 1 to k of fraction numerator 1 over denominator i left parenthesis i plus 1 right parenthesis end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis open square brackets left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 close square brackets end fraction equals fraction numerator k over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction equals fraction numerator k left parenthesis k plus 2 right parenthesis plus 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction equals fraction numerator k squared plus 2 k plus 1 over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction equals fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared over denominator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction equals fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis over denominator left parenthesis k plus 2 right parenthesis end fraction$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell Ruas space kanan end cell row cell fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction end cell equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator k plus 1 plus 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator k plus 2 end fraction end cell end table$

Karena untuk ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka P subscript n benar untuk n equals k plus 1

Dengan demikian,

$p subscript n identical to sum from i equals 1 to n of fraction numerator 1 over denominator i left parenthesis i plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction$

terbukti benar untuk semua n bilangan asli.