Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. k=1∑n​(n+1)2n−1=n⋅2n

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika.

sum from k equals 1 to n of open parentheses n plus 1 close parentheses 2 to the power of n minus 1 end exponent equals n times 2 to the power of n

Pembahasan:

Misalkan p subscript n identical to sum from k equals 1 to n of open parentheses n plus 1 close parentheses 2 to the power of n minus 1 end exponent equals n times 2 to the power of n.

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

Dibuktikan P subscript n benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from k equals 1 to n of open parentheses n plus 1 close parentheses 2 to the power of n minus 1 end exponent end cell equals cell n times 2 to the power of n end cell row cell left parenthesis 1 plus 1 right parenthesis 2 to the power of 1 minus 1 end exponent end cell equals cell 1 times 2 to the power of 1 end cell row cell 2 cross times 1 end cell equals 2 row 2 equals cell 2 space left parenthesis Benar right parenthesis end cell end table

Jadi,  P subscript n benar untuk n equals 1

P subscript n diamsusikan benar untuk n equals m, sehingga 

sum from k equals 1 to m of open parentheses m plus 1 close parentheses 2 to the power of m minus 1 end exponent equals m times 2 to the power of m

Akan dibuktikan P subscript n benar untuk n equals m plus 1

Ruas space Kiri sum from k equals 1 to m plus 1 of open square brackets n plus 1 close square brackets 2 to the power of n minus 1 end exponent equals sum from k equals 1 to m of open square brackets open parentheses m close parentheses plus 1 close square brackets 2 to the power of m minus 1 end exponent plus open square brackets open parentheses m plus 1 close parentheses plus 1 close square brackets 2 to the power of left parenthesis m plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent equals m times 2 to the power of m plus left parenthesis m plus 2 right parenthesis 2 to the power of m equals 2 to the power of m left parenthesis 2 m plus 2 right parenthesis equals 2 to the power of m plus 1 end exponent left parenthesis m plus 1 right parenthesis

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell Ruas space kanan end cell row cell n times 2 to the power of n end cell equals cell left parenthesis m plus 1 right parenthesis 2 to the power of m plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 2 to the power of m plus 1 end exponent open parentheses m plus 1 close parentheses end cell end table

Karena untuk ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka P subscript n benar untuk n equals m plus 1

Dengan demikian,

 p subscript n identical to sum from k equals 1 to n of open parentheses n plus 1 close parentheses 2 to the power of n minus 1 end exponent equals n times 2 to the power of n

 terbukti benar untuk semua n bilangan asli.

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

N. Dwi

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Yogyakarta

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan serupa

Buktikan dengan induksi matematika. 14+24+34+⋯+n4=301​n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 1+3+6+10+⋯+21​n(n+1)=61​n(n+1)(n+2)

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. ​=​(1×2×3)+(2×3×4)+(3×4×5)+⋯+n(n+1)(n+2)41​n(n+1)(n+2)(n+3)​

2

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. k=1∑n​k(k+1)(k+2)=4n(n+1)(n+2)(n+3)​

2

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. ​=​1×2×31​+2×3×41​+3×4×541​+⋯+n(n+1)(n+2)1​4(n+1)(n+2)n(n+3)​​

2

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved