Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. i = 1 ∑ n 3 i − 1 = 2 1 ( 3 n − 1 )

Buktikan dengan induksi matematika.

$i = 1 \sum n 3^{i - 1} = \frac{1}{2} (3^{n} - 1)$

F. Kurnia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Jember

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misalkan . Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut. Dibuktikan benar untuk Jadi, benar untuk diamsusikan benar untuk , sehingga Akan dibuktikan benar untuk Dengan demikian, terbukti benaruntuk semua n bilangan asli.

Misalkan P subscript n identical to sum from i equals 1 to n of 3 to the power of i minus 1 end exponent equals 1 half open parentheses 3 to the power of n minus 1 close parentheses .

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

Dibuktikan P subscript n benar untuk n equals 1

Jadi, P subscript n benar untuk n equals 1

P subscript n diamsusikan benar untuk n equals k , sehingga

sum from i equals 1 to k of 3 to the power of i minus 1 end exponent equals 1 half open parentheses 3 to the power of k minus 1 close parentheses

Akan dibuktikan P subscript n benar untuk n equals k plus 1

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from i equals 1 to k plus 1 of 3 to the power of i minus 1 end exponent end cell equals cell 1 half open parentheses 3 to the power of k plus 1 end exponent minus 1 close parentheses end cell row cell sum from i equals 1 to k of 3 to the power of i minus 1 end exponent plus 3 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent end cell equals cell 1 half open parentheses 3 cross times 3 to the power of k minus 1 close parentheses end cell row cell 1 half left parenthesis 3 to the power of k minus 1 right parenthesis plus 3 to the power of k end cell equals cell fraction numerator 3 cross times 3 to the power of k minus 1 over denominator 2 end fraction end cell row cell fraction numerator 3 to the power of k minus 1 plus 2 cross times 3 to the power of k over denominator 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator 3 cross times 3 to the power of k minus 1 over denominator 2 end fraction end cell row cell fraction numerator 3 cross times 3 to the power of k minus 1 over denominator 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator 3 cross times 3 to the power of k minus 1 over denominator 2 end fraction end cell end table$

Dengan demikian,

P subscript n identical to sum from i equals 1 to n of 3 to the power of i minus 1 end exponent equals 1 half open parentheses 3 to the power of n minus 1 close parentheses

terbukti benar untuk semua n bilangan asli.