Pertanyaan

Buktikan bahwa untuk semua n bilangan asli 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + n ( n + 1 ) = 3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Buktikan bahwa untuk semua $n$ bilangan asli

$1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... + n (n + 1) = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{3}$

S. Yoga

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misalkan adalah Langkah 1: Akan dibuktikan benar untuk . Dengan mensubtitusikan ke kedua ruas diperoleh: Oleh karena ruas kiri danruas kanan sama, maka benar untuk . Langkah 2: Andaikan benar untuk , yaitu bernilai benar, akan dibuktikan juga benar untuk , yaitu : Ruas kiri dengan ruas kanan adalah sama. Oleh karena Langkah 1 dan Langkah 2 keduanya bernilai benar, maka terbukti bahwa

Misalkan adalah $begin mathsize 14px style 1 cross times 2 plus 2 cross times 3 plus 3 cross times 4 plus... plus n left parenthesis n plus 1 right parenthesis equals fraction numerator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis n plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end style$

Langkah 1:

Akan dibuktikan benar untuk . Dengan mensubtitusikan ke kedua ruas
diperoleh:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 left parenthesis 2 right parenthesis end cell equals cell fraction numerator 1 left parenthesis 1 plus 1 right parenthesis left parenthesis 1 plus 2 right parenthesis over denominator 6 end fraction end cell row 2 equals cell 6 over 3 end cell row 2 equals 2 end table end style$

Oleh karena ruas kiri dan ruas kanan sama, maka benar untuk .

Langkah 2:

Andaikan benar untuk , yaitu $begin mathsize 14px style sum from n equals 1 to k of k left parenthesis k plus 1 right parenthesis equals fraction numerator k left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end style$ bernilai benar, akan dibuktikan juga benar untuk , yaitu :

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 cross times 2 plus 2 cross times 3 plus 3 cross times 4 plus... plus k left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis end cell equals cell fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell row cell fraction numerator left parenthesis k right parenthesis left parenthesis K plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis end cell equals cell fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell row cell fraction numerator k left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis plus 3 left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell equals cell fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell row cell fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis left parenthesis k plus 3 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell equals cell fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis left parenthesis k plus 3 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell row blank blank blank end table end style$

Ruas kiri dengan ruas kanan adalah sama.

Oleh karena Langkah 1 dan Langkah 2 keduanya bernilai benar, maka terbukti bahwa $begin mathsize 14px style 1 cross times 2 plus 2 cross times 3 plus 3 cross times 4 plus... plus n left parenthesis n plus 1 right parenthesis equals fraction numerator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis n plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end style$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.3 (30 rating)

Charlos Silalahi

Pembahasan lengkap banget

Nada Nabilah

Ini yang aku cari! Pembahasan lengkap banget Mudah dimengerti Bantu banget Makasih ❤️

Rina Ayu dia

Mudah dimengerti

Andreas Sutan Sahala Hutahaean

Ini yang aku cari!

Aulia sonda Silalahi

Bantu banget

Pertanyaan serupa

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan dengan prinsip induksi matematika. b. i = 1 ∑ n n 3 [ ( n i ) 2 + 1 ] = 2 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 3

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika x  = 1 , buktikan bahwa: 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan ∑ i = 1 n i ( i + 1 ) = 3 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) untuk setiap bilangan asli n !