Pertanyaan

Buktikan bahwa garis px + qy = r 2 akan berpotongan dengan lingkaran x 2 + y 2 = r 2 di dua titik jika ( p , q ) terletak di luar lingkaran.

Buktikan bahwa garis $px + qy = r^{2}$ akan berpotongan dengan lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ di dua titik jika $(p, q)$ terletak di luar lingkaran.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwagaris px + qy = r 2 berpotongan dengan lingkaran x 2 + y 2 = r 2 di dua titik jika ( p , q ) terletak di luar lingkaran.

terbukti bahwa garis

px + qy = r^{2}

berpotongan dengan lingkaran

x^{2} + y^{2} = r^{2}

di dua titik jika

(p, q)

terletak di luar lingkaran.

Pembahasan

Ingat kembali mengenai konsep di bawah ini. jika garis memotong lingkaran di dua titik, maka D > 0 jika suatu titik ( p , q ) terletak di luar lingkaran, maka p 2 + q 2 > r 2 Selanjutnya persamaan garis px + qy = r 2 disubtitusikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 = r 2 . Ubah persamaan px + qy = r 2 menjadi y = q r 2 − px x 2 + y 2 x 2 + ( q r 2 − p x ) 2 x 2 + ( q 2 r 4 − 2 p r 2 x + p 2 x 2 ) q 2 q 2 x 2 + r 4 − 2 p r 2 x + p 2 x 2 q 2 x 2 + r 4 − 2 p r 2 x + p 2 x 2 ( p 2 + q 2 ) x 2 − 2 p r 2 x + r 4 ( p 2 + q 2 ) x 2 − ( 2 p r 2 ) x + ( r 4 − r 2 ⋅ q 2 ) = = = = = = = r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 ⋅ q 2 r 2 ⋅ q 2 0 Dari persamaan ( p 2 + q 2 ) x 2 − ( 2 p r 2 ) x + ( r 4 − r 2 ⋅ q 2 ) = 0 , dicari nilai D > 0 . ( − 2 p r 2 ) 2 − 4 ⋅ ( p 2 + q 2 ) ( r 4 − q 2 r 2 ) 4 p 2 r 4 − 4 ⋅ ( p 2 + q 2 ) ( r 4 − q 2 r 2 ) − 4 ⋅ ( p 2 + q 2 ) ( r 4 − q 2 r 2 ) ( p 2 + q 2 ) ( p 2 + q 2 ) ( p 2 + q 2 ) ( p 2 + q 2 ) ⋅ ( r 2 − q 2 ) p 2 r 2 − p 2 q 2 + q 2 r 2 − q 4 p 2 r 2 + q 2 r 2 − p 2 r 2 q 2 r 2 q 2 r 2 r 2 > > > < < < < < < < < < 0 0 − 4 p 2 r 4 ( d iba g i d e n g an − 4 ( r 4 − q 2 r 2 ) ) r 4 − q 2 r 2 p 2 r 4 r 2 ( r 2 − q 2 ) p 2 r 4 ( r 2 − q 2 ) p 2 r 2 p 2 r 2 p 2 r 2 p 2 q 2 + q 4 p 2 q 2 + q 4 q 2 ⋅ ( p 2 + q 2 ) ( p 2 + q 2 ) Dengan demikian, terbukti bahwagaris px + qy = r 2 berpotongan dengan lingkaran x 2 + y 2 = r 2 di dua titik jika ( p , q ) terletak di luar lingkaran.

Ingat kembali mengenai konsep di bawah ini.

jika garis memotong lingkaran di dua titik, maka $D > 0$
jika suatu titik $(p, q)$ terletak di luar lingkaran, maka $p^{2} + q^{2} > r^{2}$

Selanjutnya persamaan garis $px + qy = r^{2}$ disubtitusikan ke persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . Ubah persamaan $px + qy = r^{2}$ menjadi $y = \frac{r ^{2} - px}{q}$

$x^{2} + y^{2} x^{2} + (\frac{r ^{2} - p x}{q})^{2} x^{2} + (\frac{r ^{4} - 2 p r ^{2} x + p ^{2} x ^{2}}{q ^{2}}) \frac{q ^{2} x ^{2} + r ^{4} - 2 p r ^{2} x + p ^{2} x ^{2}}{q ^{2}} q^{2} x^{2} + r^{4} - 2 p r^{2} x + p^{2} x^{2} (p^{2} + q^{2}) x^{2} - 2 p r^{2} x + r^{4} (p^{2} + q^{2}) x^{2} - (2 p r^{2}) x + (r^{4} - r^{2} \cdot q^{2}) = = = = = = = r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} \cdot q^{2} r^{2} \cdot q^{2} 0$

Dari persamaan $(p^{2} + q^{2}) x^{2} - (2 p r^{2}) x + (r^{4} - r^{2} \cdot q^{2}) = 0$ , dicari nilai $D > 0$ .

$(- 2 p r^{2})^{2} - 4 \cdot (p^{2} + q^{2}) (r^{4} - q^{2} r^{2}) 4 p^{2} r^{4} - 4 \cdot (p^{2} + q^{2}) (r^{4} - q^{2} r^{2}) - 4 \cdot (p^{2} + q^{2}) (r^{4} - q^{2} r^{2}) (p^{2} + q^{2}) (p^{2} + q^{2}) (p^{2} + q^{2}) (p^{2} + q^{2}) \cdot (r^{2} - q^{2}) p^{2} r^{2} - p^{2} q^{2} + q^{2} r^{2} - q^{4} p^{2} r^{2} + q^{2} r^{2} - p^{2} r^{2} q^{2} r^{2} q^{2} r^{2} r^{2} > > > < < < < < < < < < 00 - 4 p^{2} r^{4} (d iba g i d e n g an - 4 (r^{4} - q^{2} r^{2})) \frac{p ^{2} r ^{4}}{r ^{4} - q ^{2} r ^{2}} \frac{p ^{2} r ^{4}}{r ^{2} ( r ^{2} - q ^{2} )} \frac{p ^{2} r ^{2}}{( r ^{2} - q ^{2} )} p^{2} r^{2} p^{2} r^{2} p^{2} q^{2} + q^{4} p^{2} q^{2} + q^{4} q^{2} \cdot (p^{2} + q^{2}) (p^{2} + q^{2})$

Dengan demikian, terbukti bahwa garis $px + qy = r^{2}$ berpotongan dengan lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ di dua titik jika $(p, q)$ terletak di luar lingkaran.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan posisi dari titik-titik berikut, apakah terletak pada , di luar, atau di dalam lingkaran yang berpusat di ( 5 , − 4 ) dan berjari-jari 3 2 (tanpa menggambar). a. ( 1 , 2 )

4.5

Jawaban terverifikasi

Tentukan posisi dari titik-titik berikut, apakah terletak pada , di luar, atau di dalam lingkaran yang berpusat di ( 5 , − 4 ) dan berjari-jari 3 2 (tanpa menggambar). i. ( 2 , 4 )

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui persamaan lingkaran L ≡ ( x − 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 9 . Selidiki hubungan titik-titik berikut terhadap lingkaran L . b. ( 2 , 3 )

5.0

Jawaban terverifikasi

Lingkaran L berpusat di ( 1 , 3 ) dan berjari-jari R . Agar titik ( 5 , 0 ) terletak di luar L , maka nilai R haruslah...

4.2

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 7 , 1 ) dan lingkaran L ≡ ( x − 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 . a. Tentukan posisi titik A terhadap lingkaran L . b. Hitunglah jarak terdekat titik A ke lingkaran L . c . Hitun...

4.4

Jawaban terverifikasi