Pertanyaan

Diketahui titik A ( 7 , 1 ) dan lingkaran L ≡ ( x − 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 . a. Tentukan posisi titik A terhadap lingkaran L . b. Hitunglah jarak terdekat titik A ke lingkaran L . c . Hitunglah jarak terjauh titik A ke lingkaran L .

Diketahui titik $A (7, 1)$ dan lingkaran $L \equiv (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

a. Tentukan posisi titik $A$ terhadap lingkaran $L$ .

b. Hitunglah jarak terdekat titik $A$ ke lingkaran $L$ .

c . Hitunglah jarak terjauh titik $A$ ke lingkaran $L$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jarak terjauhtitik A ( 7 , 1 ) ke lingkaran L ≡ ( x − 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 adalah 3 satuan panjang.

jarak terjauh titik

A (7, 1)

ke lingkaran

L \equiv (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 16

adalah

3

satuan panjang.

Pembahasan

Ingat! Persamaan lingkaran L ≡ ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 berpusat di titik ( a , b ) dan berjari-jari r . Berdasarkan konsep tersebut makalingkaran L ≡ ( x − 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 berpusat di titik ( 4 , − 3 ) dan berjari-jari r = 16 = 4 . a.Posisi titik P terhadap lingkaran Untuk mengetahui posisi titik A ( 7 , 1 ) terhadap lingkaran L ≡ ( x − 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 yaitu dengan cara mensubstitusikan titik A ( 7 , 1 ) ke lingkaran L ≡ ( x − 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 dan membandingkannya dengan r 2 . A ( 7 , 1 ) ⇒ ( 7 − 4 ) 2 + ( 1 + 3 ) 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 > 16 Artinya titik A ( 7 , 1 ) berada di luar lingkaran. Perhatikan gambar di bawah ini. b. Jarak terdekat titik P terhadap lingkaran Berdasarkan gambar di atas, jarak terdekat = AC ditentukan oleh: AC = AM − r dengan AM adalah jarak titik A ( 7 , 1 ) ke pusat lingkaran yaitu titik ( 4 , − 3 ) . AM = = = = = = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ( 4 − 7 ) 2 + ( − 3 − 1 ) 2 ( − 3 ) 2 + ( − 4 ) 2 9 + 16 25 5 Dengan demikian, jarak terdekat titik A ( 7 , 1 ) ke lingkaran L ≡ ( x − 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 adalah AC = AM − r = 5 − 4 = 1 satuan panjang. c. Jarak terjauh titik P terhadap lingkaran Berdasarkan gambar di atas, jarak terjauh = AB ditentukan oleh: AB = = = = = AM 2 − r 2 5 2 − 4 2 25 − 16 9 3 . Dengan demikian, jarak terjauhtitik A ( 7 , 1 ) ke lingkaran L ≡ ( x − 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 adalah 3 satuan panjang.

Ingat!

Persamaan lingkaran $L \equiv (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ berpusat di titik $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ .

Berdasarkan konsep tersebut maka lingkaran $L \equiv (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ berpusat di titik $(4, - 3)$ dan berjari-jari $r = 16 = 4$ .

a. Posisi titik $P$ terhadap lingkaran

Untuk mengetahui posisi titik $A (7, 1)$ terhadap lingkaran $L \equiv (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ yaitu dengan cara mensubstitusikan titik $A (7, 1)$ ke lingkaran $L \equiv (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ dan membandingkannya dengan $r^{2}$ .

$A (7, 1) \Rightarrow (7 - 4)^{2} + (1 + 3)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 > 16$

Artinya titik $A (7, 1)$ berada di luar lingkaran.

Perhatikan gambar di bawah ini.

b. Jarak terdekat titik $P$ terhadap lingkaran

Berdasarkan gambar di atas, jarak terdekat $= AC$ ditentukan oleh:

$AC = AM - r$

dengan $AM$ adalah jarak titik $A (7, 1)$ ke pusat lingkaran yaitu titik $(4, - 3)$ .

$AM = = = = = = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} (4 - 7)^{2} + (- 3 - 1)^{2} (- 3)^{2} + (- 4)^{2} 9 + 16 255$

Dengan demikian, jarak terdekat titik $A (7, 1)$ ke lingkaran $L \equiv (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ adalah $AC = AM - r = 5 - 4 = 1$ satuan panjang.