Himpunan nilai x yang memenuhi cos 2 2 x + cos 2 x = sin 2 2 x dengan x merupakan sudut lancip adalah ....

Pembahasan

Ingat bahwa cos 2 2 x + sin 2 2 x = 1 sin 2 2 x = 1 - cos 2 2 x maka cos 2 2 x + cos 2 x = sin 2 2 x cos 2 2 x + cos 2 x = 1 - cos 2 2 x 2 cos 2 2 x + cos 2 x - 1 = 0 Misalkan y = cos 2 x maka 2 cos 2 2 x + cos 2 x - 1 = 0 2 y 2 + y - 1 = 0 (2 y - 1) ( y + 1) = 0 y = atau y = -1 cos 2 x = atau cos 2 x = -1 Ingat bahwa cos 60° = dan cos 180° = -1 . Maka kita punya cos 2 x = cos 60° atau cos 2 x = cos 180° Persamaan cos x = cos a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° dan x = - a + k ∙ 360° dengan k ∈ N Karena x adalah sudut lancip maka 0° < x < 90° Pertama kita punya 2 x = 60° + k ∙ 360° x = 30° + k ∙ 180° Jika k = -1, maka x = 30° + ( - 1) ∙ 180° = 30° - 180° = -150° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat xjuga. Jika k = 0, maka x = 30° + ( 0) ∙ 180° = 30° + 0° = 30° . Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = 30° + ( 1) ∙ 180° = 30° + 180° = 210° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Kemudian kita punya 2 x = -60° + k ∙ 360° x = -30° + k ∙ 180° Jika k = 0, maka x = -30° + ( 0) ∙ 180° = -30° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 1, maka x = -30° + ( 1) ∙ 180° = -30° + 180° = 150° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya 2 x = 180° + k ∙ 360° x = 90° + k ∙ 180° Jika k = -1, maka x = 90° + ( - 1) ∙ 180° = 90° - 180° = -90° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = 90° + ( 0) ∙ 180° = 90° + 0° = 90° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Lalu, kita punya 2 x = -180° + k ∙ 360° x = -90° + k ∙ 180° Jika k = 0, maka x = -90° + ( 0) ∙ 180° = -90° + 0° = -90° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 1, maka x = -90° + ( 1) ∙ 180° = -90° + 180° = 90° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jadi, kita punya himpunan nilai x yang memenuhi yaitu { 30°}