Arsirlah himpunan penyelesaian dari masing-masing sistem pertidaksamaan berikut pada sistem koordinat Cartesius. y < − 2 x 2 − 4 x + 6 dan y ≥ x 2 − 4 x − 5

Pembahasan

Untuk mencari penyelesaian dari sistem pertidaksamaan y < − 2 x 2 − 4 x + 6 dan y ≥ x 2 − 4 x − 5 pada sistem koordinat Cartesius, berikut ini langkah-langkahnya: Gambar grafik y < − 2 x 2 − 4 x + 6 Grafik y = − 2 x 2 − 4 x + 6 adalah kurva berbentuk parabola dengan titik potong terhadap sumbu x dimana y = 0 sehingga y 0 2 x 2 + 4 x − 6 x 2 + 2 x − 3 ( x − + 3 ) ( x − 1 ) x 1 ​ ​ = = = = = = ​ − 2 x 2 − 4 x + 6 − 2 x 2 − 4 x + 6 0 0 0 − 3 dan x 2 ​ = 1 ​ Jadi, parabola y = − 2 x 2 − 4 x + 6 berpotongan dengan sumbu X di titik ( − 3 , 0 ) dan ( 1 , 0 ) . Selanjutnya,titik potong terhadap sumbu Y dimana x = 0 sehingga y ​ = = = ​ − 2 x 2 − 4 x + 6 − 2 ⋅ 0 2 − 4 ⋅ 0 + 6 6 ​ . Jadi, parabola y = − 2 x 2 − 4 x + 6 berpotongan dengan sumbu Y di titik ( 0 , 6 ) . Mencari titik maksimum parabola y = − 2 x 2 − 4 x + 6 yaitu: x y ​ = = = = = ​ 2 a − b ​ = 2 ⋅ ( − 2 ) − ( − 4 ) ​ = − 4 4 ​ = − 1 4 a − D ​ = 4 ⋅ ( − 2 ) − ( b 2 − 4 a c ) ​ − 8 − ( ( − 4 ) 2 − 4 ⋅ ( − 2 ) ⋅ 6 ) ​ − 8 − ( 16 + 48 ) ​ − 8 − 64 ​ = 8 ​ Jadi, titik maksimum parabola y = − 2 x 2 − 4 x + 6 adalah ( − 1 , 8 ) . Gambar grafik y ≥ x 2 − 4 x − 5 Grafik y = x 2 − 4 x − 5 adalah paraboladengan titik potong terhadap sumbu X dimana y = 0 sehingga y 0 ( x − 5 ) ( x + 1 ) x 1 ​ ​ = = = = ​ x 2 − 4 x − 5 x 2 − 4 x − 5 0 5 dan x 2 ​ = − 1 ​ . Jadi, parabola y = x 2 − 4 x − 5 berpotongan dengan sumbu X di titik ( − 1 , 0 ) dan ( 5 , 0 ) . Selanjutnya,titik potong terhadap sumbu Y dimana x = 0 sehingga y ​ = = = ​ x 2 − 4 x − 5 0 2 − 4 ⋅ 0 − 5 − 5 ​ Jadi, garis y = x 2 − 4 x − 5 berpotongan dengan sumbu Y di titik ( 0 , − 5 ) . Mencari titik minimum parabola y = x 2 − 4 x − 5 yaitu: x y ​ = = = = = ​ 2 a − b ​ = 2 ⋅ 1 − ( − 4 ) ​ = 2 4 ​ = 2 4 a − D ​ = 4 ⋅ 1 − ( b 2 − 4 a c ) ​ 4 − ( ( − 4 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 5 ) ) ​ 4 − ( 16 + 20 ) ​ 4 − 36 ​ = − 9 ​ Jadi, titik titik minimum parabola y = x 2 − 4 x − 5 adalah ( 2 , − 9 ) . Di bawah ini adalah hasil gambarpenyelesaian dari sistem pertidaksamaan y < − 2 x 2 − 4 x + 6 dan y ≥ x 2 − 4 x − 5 Uji titik ( 0 , 0 ) pada y < − 2 x 2 − 4 x + 6 . Jelas bahwa y < − 2 x 2 − 4 x + 6 y < − 2 ⋅ 0 2 − 4 ⋅ 0 + 6 0 < 6 Artinya,titik ( 0 , 0 ) terletak pada daerah penyelesaian y < − 2 x 2 − 4 x + 6 . Uji titik ( 0 , 0 ) pada y ≥ x 2 − 4 x − 5 . Jelas bahwa y y 0 ​ ≥ ≥ ≥ ​ x 2 − 4 x − 5 0 2 − 4 ⋅ 0 − 5 − 5 ​ Artinya,titik ( 0 , 0 ) terletak pada daerah penyelesaian y ≥ x 2 − 4 x − 5 . Jadi, gambar himpunan penyelesaian darisistem pertidaksamaan y < − 2 x 2 − 4 x + 6 dan y ≥ x 2 − 4 x − 5 adalah