Akar-akar persamaan x 3 − 12 x 2 + 34 x − 28 = 0 membentuk barisan aritmetika dengan selisih (beda) positif. Manakah hubungan yang benar antara kuantitas P dan Q berikut yang sesuai berdasarkan informasi di atas. P Q 160 Jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmetika yang terbentuk

Pembahasan

Ingat! Persamaan A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 dengan akar-akar x 1 ​ , x 2 ​ , dan x 3 ​ , maka: x 1 ​ + x 2 ​ + x 3 ​ = − A B ​ x 1 ​ ⋅ x 2 ​ + x 1 ​ ⋅ x 3 ​ + x 2 ​ ⋅ x 3 ​ = A C ​ x 1 ​ ⋅ x 2 ​ ⋅ x 2 ​ = − A D ​ Suatu deret aritmetika dengan suku pertama(a) dan selisih/beda (b), maka jumlah n suku pertamanya adalah S n ​ = 2 n ​ ( 2 a + ( n − 1 ) b ) Langkah-langkah: 1. Mencari a dan b dari barisan aritmetika. 2. Mencari jumlah 10 suku pertama. Langkah 1 (mencari a dan b dari barisan aritmetika.): Sehingga, dari persamaan x 3 − 12 x 2 + 34 x − 28 = 0 memiliki tiga penyelesaian (misal, x 1 ​ , x 2 ​ , x 3 ​ ), maka`: x 1 ​ + x 2 ​ + x 3 ​ = − A B ​ = − 1 ( − 12 ) ​ = 12 Karena akar-akarnya membentuk barisan aritmetika, maka jika dimisalkan x 1 ​ = a (suku pertama), maka x 2 ​ = a + b (dimana b = selisih) dan x 3 ​ = a + 2 b . Sehingga, a + ( a + b ) + ( a + 2 b ) 3 a + 3 b a + b ​ = = = ​ 12 12 4 ..... ( i ) ⇒ b = 4 − a ​ x 1 ​ ⋅ x 2 ​ ⋅ x 3 ​ ​ = ​ − A D ​ ​ a ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a + 2 b ) a ⋅ ( 4 ) ⋅ ( a + 2 ( 4 − a )) a ( 8 − a ) a 2 − 8 a + 7 ( a − 7 ) ( a − 1 ) a ​ = = = = = = ​ − 1 ( − 28 ) ​ 28 7 0 0 7 atau a = 1 ​ Untuk a = 1 → b = 4 − a b = 4 − 1 b = 3 Sehingga, barisan aritmetika yang terbentuk yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat x 3 − 12 x 2 + 34 x − 28 = 0 adalah 1 , 4 , 7 , maka a = 1 , b = 3 Langkah 2 (mencari jumlah 10 suku pertama.): Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah S 10 ​ ​ = = = ​ 2 10 ​ ( 2 ⋅ 1 + ( 10 − 1 ) ⋅ 3 ) 5 ( 2 + 27 ) 145 ​ Dengan nilai P = 160 dan Q = 145, maka dapat disimpulkan bahwa P > Q Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.