Pertanyaan

∫ 0 1 ( x 2 + 2 x + 6 ) x + 1 d x = . . .

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{( x ^{2} + 2 x + 6 )} d x = . . .$

I. Ridha

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

.

$integral subscript 0 superscript 1 fraction numerator x plus 1 over denominator open parentheses x squared plus 2 x plus 6 close parentheses end fraction d x equals 1 half open parentheses ln open parentheses 9 close parentheses minus ln open parentheses 6 close parentheses close parentheses$ . space

Pembahasan

Permasalahan integral di atas akan diselesaikan dengan metode integral subtitusi. Misalkan , maka diperoleh: sehingga batas bawah menjadi batas atas menjadi Dengan menyubtitusikan variable , ,batas bawah dan batas akhir di atas ke bentuk integral pada soal, diperoleh Oleh karena untuk , maka penyelesaian integral di atas adalah Jadi, .

Permasalahan integral di atas akan diselesaikan dengan metode integral subtitusi.

Misalkan u equals x squared plus 2 x plus 6 , maka diperoleh:

$fraction numerator d u over denominator d x end fraction equals 2 x plus 2 equals 2 open parentheses x plus 1 close parentheses$ sehingga $fraction numerator d u over denominator 2 end fraction equals open parentheses x plus 1 close parentheses d x$
batas bawah menjadi
batas atas menjadi

Dengan menyubtitusikan variable , $fraction numerator d u over denominator 2 end fraction$ , batas bawah dan batas akhir di atas ke bentuk integral pada soal, diperoleh

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell integral subscript 0 superscript 1 fraction numerator x plus 1 over denominator open parentheses x squared plus 2 x plus 6 close parentheses end fraction d x end cell equals cell integral subscript 0 superscript 1 fraction numerator 1 over denominator open parentheses x squared plus 2 x plus 6 close parentheses end fraction open parentheses x plus 1 close parentheses d x end cell row blank equals cell integral subscript 6 superscript 9 1 over u fraction numerator d u over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell integral subscript 6 superscript 9 fraction numerator 1 over denominator 2 u end fraction d u end cell end table$

Oleh karena integral subscript a superscript b 1 over x d x equals right enclose ln open parentheses x close parentheses end enclose subscript a superscript b equals ln open parentheses b close parentheses minus ln open parentheses a close parentheses untuk x greater than 0 , maka penyelesaian integral di atas adalah

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell integral subscript 6 superscript 9 fraction numerator 1 over denominator 2 u end fraction d u end cell equals cell 1 half open parentheses integral subscript 6 superscript 9 1 over u d u close parentheses end cell row blank equals cell 1 half open parentheses right enclose ln open parentheses u close parentheses end enclose subscript 6 superscript 9 close parentheses end cell row blank equals cell 1 half open parentheses ln open parentheses 9 close parentheses minus ln open parentheses 6 close parentheses close parentheses end cell end table$

Jadi, $integral subscript 0 superscript 1 fraction numerator x plus 1 over denominator open parentheses x squared plus 2 x plus 6 close parentheses end fraction d x equals 1 half open parentheses ln open parentheses 9 close parentheses minus ln open parentheses 6 close parentheses close parentheses$ . space