Pertanyaan

Tunjukkan bahwa garis 3 x + 4 y = 0 menyinggung lingkaran yang berjari-jari 3 dan berpusat di titik ( 5 , 0 ) .

Tunjukkan bahwa garis $3 x + 4 y = 0$ menyinggung lingkaran yang berjari-jari $3$ dan berpusat di titik $(5, 0)$ .

T. Prita

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Jember

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat persamaan lingkaran berpusat di titik ( a , b ) dan jari-jari r . ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Diketahuilingkaran berpusat di titik ( 5 , 0 ) danberjari-jari 3 , persamaan lingkarannya yaitu: ( x − 5 ) 2 + ( y − 0 ) 2 = r 2 ( x − 5 ) 2 + y 2 = 3 2 ( x − 5 ) 2 + y 2 = 9 Garis 3 x + 4 y = 0 dapat diubah menjadi: 3 x + 4 y 3 x − 4 3 x y = = = = 0 − 4 y y − 4 3 x Suatu garis menyinggung lingkaran berarti garis tersebut memotong satu titik pada lingkaran. Garis 3 x + 4 y = 0 menyinggung lingkaran ( x − 5 ) 2 + y 2 = 9 ditunjukkan dengan cara berikut. Substitusikan y = − 4 3 x ke persamaan lingkaran ( x − 5 ) 2 + y 2 = 9 . ( x − 5 ) 2 + y 2 ( x − 5 ) 2 + ( − 4 3 x ) 2 x 2 − 10 x + 25 + 16 9 x 2 x 2 + 16 9 x 2 − 10 x + 25 − 9 x 2 + 16 9 x 2 − 10 x + 16 16 x 2 + 9 x 2 − 160 x + 256 25 x 2 − 160 x + 256 ( 5 x − 16 ) ( 5 x − 16 ) 5 x − 16 5 x x = = = = = = = = = = = 9 9 9 0 0 ( ruaskiridankanankalikan 16 ) 0 0 0 0 16 5 16 Selanjutnya cari nilai y dengan mensubstitusikan x = 5 16 ke salah satu persamaan yang diketahui sebagai berikut. 3 x + 4 y 3 ( 5 16 ) + 4 y 5 48 5 48 × − 4 1 − 20 48 y y = = = = = = = 0 0 − 4 y y y 20 − 48 5 − 12 Titik potong garis 3 x + 4 y = 0 dengan lingkaran ( x − 5 ) 2 + y 2 = 9 yaitu ( 5 16 , − 5 12 ) . Hal ini menunjukkan bahwa hanya terdapat satu titik potong. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwagaris 3 x + 4 y = 0 menyinggunglingkaran ( x − 5 ) 2 + y 2 = 9 .

Ingat persamaan lingkaran berpusat di titik $(a, b)$ dan jari-jari $r$ .

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Diketahui lingkaran berpusat di titik $(5, 0)$ dan berjari-jari $3$ , persamaan lingkarannya yaitu:

$(x - 5)^{2} + (y - 0)^{2} = r^{2} (x - 5)^{2} + y^{2} = 3^{2} (x - 5)^{2} + y^{2} = 9$

Garis $3 x + 4 y = 0$ dapat diubah menjadi:

$3 x + 4 y 3 x - \frac{3}{4} x y = = = = 0 - 4 y y - \frac{3}{4} x$

Suatu garis menyinggung lingkaran berarti garis tersebut memotong satu titik pada lingkaran.

Garis $3 x + 4 y = 0$ menyinggung lingkaran $(x - 5)^{2} + y^{2} = 9$ ditunjukkan dengan cara berikut.
Substitusikan $y = - \frac{3}{4} x$ ke persamaan lingkaran $(x - 5)^{2} + y^{2} = 9$ .

$(x - 5)^{2} + y^{2} (x - 5)^{2} + (- \frac{3}{4} x)^{2} x^{2} - 10 x + 25 + \frac{9}{16} x^{2} x^{2} + \frac{9}{16} x^{2} - 10 x + 25 - 9 x^{2} + \frac{9}{16} x^{2} - 10 x + 16 16 x^{2} + 9 x^{2} - 160 x + 256 25 x^{2} - 160 x + 256 (5 x - 16) (5 x - 16) 5 x - 16 5 x x = = = = = = = = = = = 9990 0 (ruas kiri dan kanan kalikan 16) 000016 \frac{16}{5}$

Selanjutnya cari nilai $y$ dengan mensubstitusikan $x = \frac{16}{5}$ ke salah satu persamaan yang diketahui sebagai berikut.

$3 x + 4 y 3 (\frac{16}{5}) + 4 y \frac{48}{5} \frac{48}{5} \times - \frac{1}{4} - \frac{48}{20} y y = = = = = = = 00 - 4 y y y \frac{- 48}{20} \frac{- 12}{5}$

Titik potong garis $3 x + 4 y = 0$ dengan lingkaran $(x - 5)^{2} + y^{2} = 9$ yaitu $(\frac{16}{5}, - \frac{12}{5})$ . Hal ini menunjukkan bahwa hanya terdapat satu titik potong.