4. Perhatikan gambar berikut. Jika θ berada pada interval terbuka ( 0 ∘ , 9 0 ∘ ) tentukan: a. nilai R dan α yang memenuhi A B = R sin ( θ − α ) , b. nilai θ untuk A B = 3 cm .

Pembahasan

Ingat! A ⋅ sin θ − B ⋅ cos θ = R ⋅ sin ( θ − α ) dengan R = A 2 + B 2 ​ dan tan α = A B ​ pada segitiga siku-siku seperti pada gambar begitu: diperoleh hubungan sin α = c a ​ dan cos α = c b ​ . Oleh karena itu: a) Untuk mencarinilai R dan α yang memenuhi A B = R sin ( θ − α ) : Perhatikan △ O A Q . Dapat diperoleh: cos θ O A ​ = = ​ 5 O A ​ 5 ⋅ cos θ ​ Perhatikan △ OBQ . Dapat diperoleh: sin θ OB ​ = = ​ 12 OB ​ 12 ⋅ sin θ ​ Perhatikan pada segitiga bahwa A B = OB − O A , sehingga dengan menyubtitusikan informasi yang diperoleh di atas, diperoleh A B ​ = = ​ OB − O A 12 ⋅ sin θ − 5 ⋅ cos θ ​ Dengan menyubtitusikan nilai A B yang diperoleh di atas ke persamaan A B = R sin ( θ − α ) , diperoleh A B 12 ⋅ sin θ − 5 ⋅ cos θ ​ = = ​ R sin ( θ − α ) R sin ( θ − α ) ( 1 ) ​ Kemudian, karena A ⋅ sin θ − B ⋅ cos θ = R ⋅ sin ( θ − α ) dengan R = A 2 + B 2 ​ dan tan α = A B ​ , maka dari persamaan (1) di atas diperoleh ​​​​​​​ A B ​ = = ​ 12 5 ​ sehingga diperoleh ​ ​ R = 1 2 2 + 5 2 ​ = 144 + 25 ​ = 169 ​ = 13 ​ ​ dan tan α α ​ = = = ​ 12 5 ​ tan − 1 ( 12 5 ​ ) 22 , 6 ∘ ​ b) Oleh karena dari (a), dapat diperoleh A B R ⋅ sin ( θ − α ) 13 ⋅ sin ( θ − 22 , 6 ∘ ) ​ = = = ​ R ⋅ sin ( θ − α ) A B A B ​ maka nilai θ untuk A B = 3 cm adalah 13 ⋅ sin ( θ − 22 , 6 ∘ ) sin ( θ − 22 , 6 ∘ ) sin ( θ − 22 , 6 ∘ ) θ − 22 , 6 ∘ θ ​ = = = = = = ​ 3 13 3 ​ sin ( 13 , 3 ∘ ) 13 , 3 ∘ 13 , 3 ∘ + 22 , 6 ∘ 35 , 9 ∘ ​ Dengan demikian, diperoleh: a. nilai R dan α yang memenuhi A B = R sin ( θ − α ) adalah R ​ = ​ 13 ​ dan α ​ = ​ 22 , 6 ∘ ​ , b.nilai θ untuk A B = 3 cm adalah θ ​ = ​ 35 , 9 ∘ ​ .