Pertanyaan

Sebuah segitiga siku-siku salah satu sudutnya θ ∘ dan panjang sisi miringnya R . Keliling segitiga itu adalah 100 cm . a. Tunjukkan bahwa R = ( 1 + sin θ ∘ + cos θ ∘ 100 ) b. Tunjukkan nilai minimum dan maksimum dari R .

Sebuah segitiga siku-siku salah satu sudutnya $θ^{\circ}$ dan panjang sisi miringnya $R$ . Keliling segitiga itu adalah $100 cm$ .

a. Tunjukkan bahwa $R = (\frac{100}{1 + sin θ ^{\circ} + cos θ ^{\circ}})$

b. Tunjukkan nilai minimum dan maksimum dari $R$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Hadiannur

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh nilai R min = 100 ( 2 − 1 ) dan R mak s tidak ada.

diperoleh nilai

R_{min} = 100 (2 - 1) dan R_{mak s}

tidak ada.

Pembahasan

Ingat : sin θ = R A cos θ = R B a cos x + b sin x = R cos ( x − α ) , dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) a. Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : sin θ cos θ a + b + R R sin θ + R cos θ + R R ( s in θ + cos θ + 1 ) R = = = = = = R a ⇒ a = R sin θ R b ⇒ b = R cos θ 100 100 100 1 + s in θ + c o s θ 100 Dengan demikian, R = ( 1 + sin θ ∘ + cos θ ∘ 100 ) terbukti. b. Karena ( 1 , 1 ) berada di kuadran pertama maka θ juga di kuadran pertama.Berdasarkan konsep di atas diperoleh : a cos x + b sin x sin θ + cos θ R R α = = = = = R cos ( x − α ) R cos ( θ − α ) , 0 < θ < 9 0 ∘ a 2 + b 2 1 2 + 1 2 = 1 + 1 = 2 tan − 1 ( a b ) = tan − 1 ( 1 1 ) = 4 5 ∘ Sehingga diperoleh persamaan 2 cos ( θ − 4 5 ∘ ) . Jika θ − 4 5 ∘ naik maka cos ( θ − 4 5 ∘ ) turun. Diperoleh : cos ( 9 0 ∘ − 4 5 ∘ ) 2 1 2 2 1 × 2 1 1 1 + 1 2 + 1 1 2 + 1 100 2 + 1 100 100 2 − 1 100 2 − 1 = < < < < < ≤ ≤ = ≤ ≤ 2 1 2 < cos ( θ − 4 5 ∘ ) ≤ cos ( 4 5 ∘ − 4 5 ∘ ) = cos 0 ∘ = 1 cos ( θ − 4 5 ∘ ) ≤ 1 ( kedua ruas dikali 2 ) 2 cos ( θ − 4 5 ∘ ) ≤ 2 2 cos ( θ − 4 5 ∘ ) ≤ 2 sin θ cos θ ≤ 2 ( kedua ruas ditambah 1 ) 1 + sin θ cos θ ≤ 2 + 1 1 + s i n θ c o s 1 < 2 1 ( kedua ruas dikali 100 ) 1 + s i n θ c o s 100 < 50 2 + 1 100 × 2 − 1 2 − 1 = ( 2 + 1 ) ( 2 − 1 ) 100 2 − 1 = 2 − 1 100 2 − 1 = 100 2 − 1 1 + s i n θ c o s 100 < 50 R < 50 Dengan demikian, diperoleh nilai R min = 100 ( 2 − 1 ) dan R mak s tidak ada.

Ingat :

$sin θ = \frac{A}{R} cos θ = \frac{B}{R}$

$a cos x + b sin x = R cos (x - α), dengan R = a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$

a. Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$sin θ cos θ a + b + R R sin θ + R cos θ + R R (s in θ + cos θ + 1) R = = = = = = \frac{a}{R} \Rightarrow a = R sin θ \frac{b}{R} \Rightarrow b = R cos θ 100100100 \frac{100}{1 + s in θ + c o s θ}$

Dengan demikian, $R = (\frac{100}{1 + sin θ ^{\circ} + cos θ ^{\circ}})$ terbukti.

b. Karena $(1, 1)$ berada di kuadran pertama maka $θ$ juga di kuadran pertama. Berdasarkan konsep di atas diperoleh :

$a cos x + b sin x sin θ + cos θ R R α = = = = = R cos (x - α) R cos (θ - α), 0 < θ < 9 0^{\circ} a^{2} + b^{2} 1^{2} + 1^{2} = 1 + 1 = 2 tan^{- 1} (\frac{b}{a}) = tan^{- 1} (\frac{1}{1}) = 4 5^{\circ}$

Sehingga diperoleh persamaan $2 cos (θ - 4 5^{\circ})$ . Jika $θ - 4 5^{\circ}$ naik maka $cos (θ - 4 5^{\circ})$ turun. Diperoleh :

$cos (9 0^{\circ} - 4 5^{\circ}) \frac{1}{2} 2 \frac{1}{2} \times 2 11 1 + 1 \frac{1}{2 + 1} \frac{100}{2 + 1} \frac{100}{2 + 1} 1002 - 1 1002 - 1 = < < < < < \leq \leq = \leq \leq \frac{1}{2} 2 < cos (θ - 4 5^{\circ}) \leq cos (4 5^{\circ} - 4 5^{\circ}) = cos 0^{\circ} = 1 cos (θ - 4 5^{\circ}) \leq 1 (kedua ruas dikali 2) 2 cos (θ - 4 5^{\circ}) \leq 2 2 cos (θ - 4 5^{\circ}) \leq 2 sin θ cos θ \leq 2 (kedua ruas ditambah 1) 1 + sin θ cos θ \leq 2 + 1 \frac{1}{1 + s i n θ c o s} < \frac{1}{2} (kedua ruas dikali 100) \frac{100}{1 + s i n θ c o s} < 50 \frac{100}{2 + 1} \times \frac{2 - 1}{2 - 1} = \frac{100 2 - 1}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )} = \frac{100 2 - 1}{2 - 1} = 1002 - 1 \frac{100}{1 + s i n θ c o s} < 50 R < 50$

Dengan demikian, diperoleh nilai $R_{min} = 100 (2 - 1) dan R_{mak s}$ tidak ada.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

133

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Pada gambar berikut, diketahui AB = 10 cm , BC = 5 cm , ∠ BAP = x ∘ , dan BC tegak lurus AB . Proyeksi titik B dan C ke garis AP berturut-turut adalah titik D dan E . a. Tunjukkanlah ( i )...

0.0

Jawaban terverifikasi

Pada gambar berikut, diketahui AB = 10 cm , BC = 5 cm , ∠ BAP = x ∘ , dan BC tegak lurus AB . Proyeksi titik B dan C ke garis AP berturut-turut adalah titik D dan E . a. Tunjukkanlah ( i )...

0.0

Jawaban terverifikasi

Nilai maksimum dan minimum dari fungsi secara berturut-turut adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui nilai minimum dari fungsi dengan A < 0 adalah -5. Jika nilai maksimum dari fungsi f(x) adalah M, maka A + M =....

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui nilai minimum dari fungsi dengan A < 0 adalah -5. Jika nilai maksimum dari fungsi f(x) adalah M, maka A + M =....

0.0

Jawaban terverifikasi