Sebuah segitiga siku-siku salah satu sudutnya θ∘ dan panjang sisi miringnya R. Keliling segitiga itu adalah 100 cm. a. Tunjukkan bahwa R=(1+sin θ∘+cos θ∘100) b. Tunjukkan nilai minimum dan maksimum dari R.

Pertanyaan

Sebuah segitiga siku-siku salah satu sudutnya $\theta^\circ$ dan panjang sisi miringnya $R$ . Keliling segitiga itu adalah $100\;\mathrm{cm}$ .

a. Tunjukkan bahwa $R equals open parentheses fraction numerator 100 over denominator 1 plus sin space theta degree plus cos space theta degree end fraction close parentheses$

b. Tunjukkan nilai minimum dan maksimum dari $R$ .

A. Hadiannur

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh nilai $R_{min}=100\;\left(\sqrt2-1\right)\;\mathrm{dan}\;R_{maks}$ tidak ada.

Pembahasan

Ingat :

$\sin\;\theta=\frac AR\\\cos\;\theta=\frac BR$

$a\;\cos\;x+b\;\sin\;x=R\;\cos\;\left(x-\alpha\right),\;\mathrm{dengan}\\R=\sqrt{a^2+b^2}\;\mathrm{dan}\;\alpha=\tan^{-1}\;\left(\frac ba\right)$

a. Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space theta end cell equals cell a over R rightwards double arrow a equals R space sin space theta end cell row cell cos space theta end cell equals cell b over R rightwards double arrow b equals R space cos space theta end cell row cell a plus b plus R end cell equals 100 row cell R space sin space theta plus R space cos space theta plus R end cell equals 100 row cell R space open parentheses s in space theta plus cos space theta plus 1 close parentheses end cell equals 100 row R equals cell fraction numerator 100 over denominator 1 plus s in space theta plus cos space theta end fraction end cell end table$

Dengan demikian, $R equals open parentheses fraction numerator 100 over denominator 1 plus sin space theta degree plus cos space theta degree end fraction close parentheses$ terbukti.

b. Karena $\left(1,\;1\right)$ berada di kuadran pertama maka $\theta$ juga di kuadran pertama. Berdasarkan konsep di atas diperoleh :

$\begin{array}{rcl}a\;\cos\;x+b\;\sin\;x&=&R\;\cos\;\left(x-\alpha\right)\\\sin\;\theta+\cos\;\theta&=&R\;\cos\;\left(\theta-\alpha\right),\;\;0<\theta<90^\circ\\R&=&\sqrt{a^2+b^2}\;\\R&=&\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2\\\alpha&=&\tan^{-1}\;\left(\frac ba\right)=\tan^{-1}\;\left(\frac11\right)=45^\circ\end{array}$

Sehingga diperoleh persamaan $\sqrt2\;\cos\;\left(\theta-45^\circ\right)$ . Jika $\theta-45^\circ$ naik maka $\cos\;\left(\theta-45^\circ\right)$ turun. Diperoleh :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space open parentheses 90 degree minus 45 degree close parentheses end cell equals cell 1 half square root of 2 less than cos space open parentheses theta minus 45 degree close parentheses less or equal than cos space open parentheses 45 degree minus 45 degree close parentheses equals cos space 0 degree equals 1 end cell row cell 1 half square root of 2 end cell less than cell cos space open parentheses theta minus 45 degree close parentheses less or equal than 1 space space open parentheses kedua space ruas space dikali space square root of 2 close parentheses end cell row cell 1 half cross times 2 end cell less than cell square root of 2 space cos space open parentheses theta minus 45 degree close parentheses less or equal than square root of 2 end cell row 1 less than cell square root of 2 space cos space open parentheses theta minus 45 degree close parentheses less or equal than square root of 2 end cell row 1 less than cell sin space theta space cos space theta less or equal than square root of 2 space space space open parentheses kedua space ruas space ditambah space 1 close parentheses end cell row cell 1 plus 1 end cell less than cell 1 plus sin space theta space cos space theta less or equal than square root of 2 plus 1 end cell row cell fraction numerator 1 over denominator square root of 2 plus 1 end fraction end cell less or equal than cell fraction numerator 1 over denominator 1 plus sin space theta space cos space end fraction less than 1 half space space space space open parentheses kedua space ruas space dikali space 100 close parentheses end cell row cell fraction numerator 100 over denominator square root of 2 plus 1 end fraction end cell less or equal than cell fraction numerator 100 over denominator 1 plus sin space theta space cos space end fraction less than 50 end cell row cell fraction numerator 100 over denominator square root of 2 plus 1 end fraction end cell equals cell fraction numerator 100 over denominator square root of 2 plus 1 end fraction cross times fraction numerator square root of 2 minus 1 over denominator square root of 2 minus 1 end fraction equals fraction numerator 100 space square root of 2 minus 1 over denominator open parentheses square root of 2 plus 1 close parentheses open parentheses square root of 2 minus 1 close parentheses end fraction equals fraction numerator 100 space square root of 2 minus 1 over denominator 2 minus 1 end fraction equals 100 space square root of 2 minus 1 end cell row blank blank blank row cell 100 space square root of 2 minus 1 end cell less or equal than cell fraction numerator 100 over denominator 1 plus sin space theta space cos space end fraction less than 50 end cell row cell 100 space square root of 2 minus 1 end cell less or equal than cell R less than 50 end cell end table$

Dengan demikian, diperoleh nilai $R_{min}=100\;\left(\sqrt2-1\right)\;\mathrm{dan}\;R_{maks}$ tidak ada.

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Pada gambar berikut, diketahui AB=10 cm, BC=5 cm, ∠BAP=x∘, dan BC tegak lurus AB. Proyeksi titik B dan C ke garis AP berturut-turut adalah titik D dan E. a. Tunjukkanlah (i) EC(ii) AE==10 s...

106

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui nilai minimum dari fungsi dengan A < 0 adalah -5. Jika nilai maksimum dari fungsi f(x) adalah M, maka A + M = ....

269

0.0

Jawaban terverifikasi

Nilai maksimum dan minimum dari fungsi secara berturut-turut adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi

4. Perhatikan gambar berikut. Jika θ berada pada interval terbuka (0∘, 90∘) tentukan: a. nilai R dan α yang memenuhi AB=R sin (θ−α), b. nilai θ untuk AB=3 cm.

0.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi di bawah ini : y=cos x−3 sin x

0.0

Jawaban terverifikasi