Pertanyaan

2. Selesaikan persamaan berikut. 2 tan − 1 ( 1 − t ) ( 1 + t ) − tan − 1 ( 1 − t ) = tan − 1 t − tan − 1 1 − t 2

2. Selesaikan persamaan berikut.

$\;$ $2 tan^{- 1} (1 - t) (1 + t) - tan^{- 1} (1 - t) = tan^{- 1} t - tan^{- 1} 1 - t^{2}$ $\;$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ralat! Soal tersebut sangat rumit untuk diselesaikan. Oleh karena itu, soal diralat menjadi: = tan − 1 ( 1 − t ) ( 1 + t ) − tan − 1 ( 1 − t ) tan − 1 ( 1 + t ) − tan − 1 1 − t 2 Ingat! ( 1 − x ) ( 1 + x ) = 1 − x 2 Jika tan − 1 y = α , maka tan α = y tan ( α + b ) = 1 − tan α ⋅ tan β tan α + tan β tan 2 α = 1 − t a n 2 α 2 ⋅ t a n α Untuk menyelesaikan persamaan = tan − 1 ( 1 − t ) ( 1 + t ) − tan − 1 ( 1 − t ) tan − 1 ( 1 + t ) − tan − 1 1 − t 2 maka, misalkan: P = tan − 1 ( 1 − t ) ( 1 + t ) = tan − 1 ( 1 − t 2 ) sehingga tan P = ( 1 − t 2 ) Q = tan − 1 ( 1 − t ) sehingga tan Q = ( 1 − t ) R = tan − 1 ( 1 + t ) sehingga tan R = ( 1 + t ) sehingga dapat diperoleh: tan − 1 ( 1 − t ) ( 1 + t ) − tan − 1 ( 1 − t ) P − Q P + P 2 P = = = = tan − 1 ( 1 + t ) − tan − 1 1 − t 2 R − P R + Q R + Q ( 1 ) Dengan mengalikan (1) dengan tan,diperoleh tan 2 P 1 − t a n 2 P 2 ⋅ t a n P 1 − ( 1 − t 2 ) 2 2 ⋅ 1 − t 2 1 − ( 1 − t 2 ) 2 ⋅ 1 − t 2 1 − 1 + t 2 2 ⋅ 1 − t 2 t 2 2 ⋅ 1 − t 2 2 ⋅ 1 − t 2 1 − t 2 1 − t 2 1 − t 2 − t 2 − t 2 t 2 t = = = = = = = = = = = = = = tan ( R + Q ) 1 − t a n R ⋅ t a n Q t a n R + t a n Q 1 − ( 1 + t ) ⋅ ( 1 − t ) ( 1 + t ) + ( 1 − t ) 1 − ( 1 − t 2 ) 1 + t + 1 − t 1 − 1 + t 2 1 + 1 t 2 2 2 2 2 1 1 1 − 1 0 0 0 Dengan demikian, diperoleh nilai t yang memenuhi = tan − 1 ( 1 − t ) ( 1 + t ) − tan − 1 ( 1 − t ) tan − 1 ( 1 + t ) − tan − 1 1 − t 2 adalah 0 .

Ralat!

Soal tersebut sangat rumit untuk diselesaikan. Oleh karena itu, soal diralat menjadi:

$= tan^{- 1} (1 - t) (1 + t) - tan^{- 1} (1 - t) tan^{- 1} (1 + t) - tan^{- 1} 1 - t^{2}$

Ingat!

$(1 - x) (1 + x) = 1 - x^{2}$
Jika $tan^{- 1} y = α$ , maka $tan α = y$
$tan (α + b) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α \cdot tan β}$
$tan 2 α = \frac{2 \cdot t a n α}{1 - t a n ^{2} α}$

Untuk menyelesaikan persamaan

$= tan^{- 1} (1 - t) (1 + t) - tan^{- 1} (1 - t) tan^{- 1} (1 + t) - tan^{- 1} 1 - t^{2}$

maka, misalkan:

$P = tan^{- 1} (1 - t) (1 + t) = tan^{- 1} (1 - t^{2})$ sehingga $tan P = (1 - t^{2})$
$Q = tan^{- 1} (1 - t)$ sehingga $tan Q = (1 - t)$
$R = tan^{- 1} (1 + t)$ sehingga $tan R = (1 + t)$

sehingga dapat diperoleh:

$tan^{- 1} (1 - t) (1 + t) - tan^{- 1} (1 - t) P - Q P + P 2 P = = = = tan^{- 1} (1 + t) - tan^{- 1} 1 - t^{2} R - P R + Q R + Q (1)$

Dengan mengalikan (1) dengan tan, diperoleh

$tan 2 P \frac{2 \cdot t a n P}{1 - t a n ^{2} P} \frac{2 \cdot 1 - t ^{2}}{1 - ( 1 - t ^{2} ) ^{2}} \frac{2 \cdot 1 - t ^{2}}{1 - ( 1 - t ^{2} )} \frac{2 \cdot 1 - t ^{2}}{1 - 1 + t ^{2}} \frac{2 \cdot 1 - t ^{2}}{t ^{2}} 2 \cdot 1 - t^{2} 1 - t^{2} 1 - t^{2} 1 - t^{2} - t^{2} - t^{2} t^{2} t = = = = = = = = = = = = = = tan (R + Q) \frac{t a n R + t a n Q}{1 - t a n R \cdot t a n Q} \frac{( 1 + t ) + ( 1 - t )}{1 - ( 1 + t ) \cdot ( 1 - t )} \frac{1 + t + 1 - t}{1 - ( 1 - t ^{2} )} \frac{1 + 1}{1 - 1 + t ^{2}} \frac{2}{t ^{2}} 2 \frac{2}{2} 11 1 - 1 000$