tan 4 x − 2 sec 2 x − 1 < 0 ; 0 ∘ < x < 18 0 ∘ , maka x berada pada interval ....

Pembahasan

Gunakan konsep penyelesaian pertidaksamaan trigonometri dengan garis bilangan dan persamaan trigonometri. Ingat kembali nilai trigonometri pada sudut istimewa dengan menggunakan tabel trigonometri dan identitas trigonometri sebagai berikut. Diketahui interval dan , akan ditentukan interval nilai yang memenuhi. Terlebih dahulu sederhanakan bentuk pertidaksamaan sebagai berikut. tan 4 x − 2 sec 2 x − 1 tan 4 x − 2 ( tan 2 x + 1 ) − 1 tan 4 x − 2 tan 2 x − 2 − 1 tan 4 x − 2 tan 2 x − 3 ( tan 2 x ) 2 − 2 tan 2 x − 3 misal tan 2 x = p p 2 − 2 p − 3 ( p − 3 ) ( p + 1 ) ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) ​ < < < < < < < < ​ 0 0 0 0 0 0 0 0 ​ Akan ditentukan pembuat nol dari ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) ​ < ​ 0 ​ dengan menggunakan cara mengubah ke pertidaksamaan trigonometri menjadi persamaan trigonometri. ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) tan 2 x = 3 tan x = ± 3 ​ tan x = 3 ​ tan x = − 3 ​ ​ < = → → ​ 0 0 tan 2 x = − 1 t an x = − 1 ​ ( T i d ak M e m e n u hi ) x = 6 0 ∘ x = ( 18 0 0 − 6 0 0 ) = 12 0 ∘ ​ Sehingga pembuat nol dari ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) ​ < ​ 0 ​ adalah nilai x yaitu dan . Kemudian pembuat nol dan batas nilai x serta nilai x yang membuat fungsi tan x tidak terdefinisi digambarkan pada garis bilangan sebagai berikut. Kemudian tetapkan tanda positif atau negatif pada setiap daerah dengan menguji nilai x setiap daerah ke ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) . Tanda positif dan negatif pada garis bilangan dapat diperoleh sebagai berikut. *Menentukan tanda di antara dan pilih sudut 3 0 ∘ . ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) = ( tan 2 3 0 0 − 3 ) ( tan 2 3 0 0 + 1 ) = ( 9 3 ​ − 3 ) ( 9 3 ​ + 1 ) = ( − ) ( + ) = ( − ) Karena hasilnya bernilai negatif, maka tanda di antara dan adalah negatif. *Menentukan tanda di antara dan 9 0 ∘ pilih sudut 7 0 ∘ (Gunakan kalkulator). ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) = ( tan 2 7 0 0 − 3 ) ( tan 2 7 0 0 + 1 ) = ( 7 , 54 − 3 ) ( 7 , 54 + 1 ) = ( + ) ( + ) = ( + ) Karena hasilnya bernilai positif, maka tanda di antara dan 9 0 0 adalah positif. *Menentukan tanda di antara 9 0 ∘ dan 12 0 ∘ pilih sudut 10 0 ∘ (Gunakan kalkulator). ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) = ( tan 2 10 0 0 − 3 ) ( tan 2 10 0 0 + 1 ) = ( 32 , 16 − 3 ) ( 32 , 16 + 1 ) = ( + ) ( + ) = ( + ) Karena hasilnya bernilai positif, maka tanda di antara 9 0 ∘ dan 12 0 ∘ adalah positif. *Menentukan tanda di antara 12 0 ∘ dan pilih sudut 15 0 ∘ . ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) = ( tan 2 15 0 0 − 3 ) ( tan 2 15 0 0 + 1 ) = ( tan 2 3 0 0 − 3 ) ( tan 2 3 0 0 + 1 ) = ( 9 3 ​ − 3 ) ( 9 3 ​ + 1 ) = ( − ) ( + ) = ( − ) Karena hasilnya bernilai negatif, maka tanda di antara dan adalah negatif. Sehingga diperoleh gambar garis bilangan seperti berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah , maka daerah yang memenuhi pertidaksamaan ( tan 2 x − 3 ) ( tan 2 x + 1 ) < 0 adalah yang bertanda negatif, sehingga daerah yang diarsir pada garis bilangan yaitu daerah yang bertanda negatif, sebagai berikut. Dengan demikian pada interval 0 0 < x < 18 0 0 , pertidaksamaan tan 4 x − 2 se c 2 x − 1 < 0 yaitu atau , Jadi, jawaban yang tepat adalah C .