Pertanyaan

Vektor-vektor posisi titik A dan B masing-masing relatif terhadap titik asal O adalah a dan b . Titik B sedemikian sehingga OP ⇀ = 4 OB ⇀ . Titik tengah AB ⇀ adalah Q. Titik R sedemikian sehingga OR ⇀ = 5 8 OQ ⇀ . Tentukan dalam a dan b , untuk vektor-vektor berikut. a. OQ ⇀ b. OR ⇀ c. AR ⇀ d. RP ⇀ e. Tunjukkan bahwa R terletak pada AP ⇀ dan nyatakan perbandingan AR ⇀ ÷ RP ⇀ .

Vektor-vektor posisi titik A dan B masing-masing relatif terhadap titik asal O adalah $a$ dan $b$ . Titik B sedemikian sehingga $OP ⇀ = 4 OB ⇀$ . Titik tengah $AB ⇀$ adalah Q. Titik R sedemikian sehingga $OR ⇀ = \frac{8}{5} OQ ⇀$ . Tentukan dalam $a$ dan $b$ , untuk vektor-vektor berikut.

a. $OQ ⇀$

b. $OR ⇀$

c. $AR ⇀$

d. $RP ⇀$

e. Tunjukkan bahwa R terletak pada $AP ⇀$ dan nyatakan perbandingan $AR ⇀ \div RP ⇀$ . $\;$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

a. Diketahui vektor-vektor posisi titik A dan B masing-masing relatif terhadap titik asal O adalah a dan b . Berarti O A ⇀ OB ⇀ = = a b Karenatitik Q adalah titik tengah A B ⇀ , maka A Q ⇀ OQ ⇀ − O A ⇀ OQ ⇀ − a OQ ⇀ − a OQ ⇀ OQ ⇀ = = = = = = 2 1 A B ⇀ 2 1 ( OB ⇀ − O A ⇀ ) 2 1 ( b − a ) 2 1 b − 2 1 a 2 1 b − 2 1 a + a 2 1 b + 2 1 a b. Diketahui OR ⇀ = 5 8 OQ ⇀ , maka diperoleh OR ⇀ = = = 5 8 OQ ⇀ 5 8 ( 2 1 b + 2 1 a ) 5 4 b + 5 4 a c. Diketahui O A ⇀ = a dan dari poin c didapat OR ⇀ = 5 4 b + 5 4 a . Maka diperoleh A R ⇀ = = = = = OR ⇀ − O A ⇀ ( 5 4 b + 5 4 a ) − a 5 4 b + 5 4 a − a 5 4 b + 5 4 a − 5 5 a 5 4 b − 5 1 a d. Diketahui OP ⇀ = 4 OB ⇀ , berarti OP ⇀ = = 4 OB ⇀ 4 b Dari poin b diperoleh OR ⇀ = 5 4 b + 5 4 a , maka diperoleh RP ⇀ = = = = = = = OP ⇀ − OR ⇀ 4 b − ( 5 4 a + 5 4 b ) 4 b − 5 4 a − 5 4 b − 5 4 a + 4 b − 5 4 b − 5 4 a + 5 20 b − 5 4 b − 5 4 a + 5 16 b 5 16 b − 5 4 a e. Akan ditunjukkan bahwa R terletak pada A P ⇀ . Apabila R terletakpada A P ⇀ , maka harus memenuhi RP ⇀ = k A R ⇀ dengan k suatu bilangan positif. Perhatikan bahwa RP ⇀ = = = = 5 16 b − 5 4 a 5 4 × 4 b − 5 4 × 1 a 4 ( 5 4 b − 5 1 a ) 4 A R ⇀ Ternyata diperoleh bahwa RP ⇀ = k A R ⇀ dengan k = 4 . Artinya, terbukti bahwaR terletakpada A P ⇀ . Selanjutnya perhatikan bahwa RP ⇀ 4 1 = = 4 A R ⇀ RP ⇀ A R ⇀ Sehingga didapatperbandingan A R ⇀ ÷ RP ⇀ adalah 1 ÷ 4 Dengan demikian, diperoleh bahwa OQ ⇀ OR ⇀ A R ⇀ RP ⇀ R terletak pada A P ⇀ dengan A R ⇀ ÷ RP ⇀ = = = = = 2 1 b + 2 1 a 5 4 b + 5 4 a 5 4 b − 5 1 a 5 16 b − 5 4 a 1 ÷ 4

a. Diketahui vektor-vektor posisi titik A dan B masing-masing relatif terhadap titik asal O adalah $a$ dan $b$ . Berarti

$O A ⇀ OB ⇀ = = a b$

Karena titik Q adalah titik tengah $A B ⇀$ , maka

$A Q ⇀ OQ ⇀ - O A ⇀ OQ ⇀ - a OQ ⇀ - a OQ ⇀ OQ ⇀ = = = = = = \frac{1}{2} A B ⇀ \frac{1}{2} (OB ⇀ - O A ⇀) \frac{1}{2} (b - a) \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} a \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} a + a \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} a$

b. Diketahui $OR ⇀ = \frac{8}{5} OQ ⇀$ , maka diperoleh

$OR ⇀ = = = \frac{8}{5} OQ ⇀ \frac{8}{5} (\frac{1}{2} b + \frac{1}{2} a) \frac{4}{5} b + \frac{4}{5} a$

c. Diketahui $O A ⇀ = a$ dan dari poin c didapat $OR ⇀ = \frac{4}{5} b + \frac{4}{5} a$ . Maka diperoleh

$A R ⇀ = = = = = OR ⇀ - O A ⇀ (\frac{4}{5} b + \frac{4}{5} a) - a \frac{4}{5} b + \frac{4}{5} a - a \frac{4}{5} b + \frac{4}{5} a - \frac{5}{5} a \frac{4}{5} b - \frac{1}{5} a$

d. Diketahui $OP ⇀ = 4 OB ⇀$ , berarti

$OP ⇀ = = 4 OB ⇀ 4 b$

Dari poin b diperoleh $OR ⇀ = \frac{4}{5} b + \frac{4}{5} a$ , maka diperoleh

$RP ⇀ = = = = = = = OP ⇀ - OR ⇀ 4 b - (\frac{4}{5} a + \frac{4}{5} b) 4 b - \frac{4}{5} a - \frac{4}{5} b - \frac{4}{5} a + 4 b - \frac{4}{5} b - \frac{4}{5} a + \frac{20}{5} b - \frac{4}{5} b - \frac{4}{5} a + \frac{16}{5} b \frac{16}{5} b - \frac{4}{5} a$

e. Akan ditunjukkan bahwa R terletak pada $A P ⇀$ . Apabila R terletak pada $A P ⇀$ , maka harus memenuhi $RP ⇀ = k A R ⇀$ dengan $k$ suatu bilangan positif. Perhatikan bahwa

$RP ⇀ = = = = \frac{16}{5} b - \frac{4}{5} a \frac{4 \times 4}{5} b - \frac{4 \times 1}{5} a 4 (\frac{4}{5} b - \frac{1}{5} a) 4 A R ⇀$

Ternyata diperoleh bahwa $RP ⇀ = k A R ⇀$ dengan $k = 4$ . Artinya, terbukti bahwa R terletak pada $A P ⇀$ . Selanjutnya perhatikan bahwa

$RP ⇀ \frac{1}{4} = = 4 A R ⇀ \frac{A R ⇀}{RP ⇀}$

Sehingga didapat perbandingan $A R ⇀ \div RP ⇀$ adalah $1 \div 4$

Dengan demikian, diperoleh bahwa

$OQ ⇀ OR ⇀ A R ⇀ RP ⇀ R terletak pada A P ⇀ dengan A R ⇀ \div RP ⇀ = = = = = \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} a \frac{4}{5} b + \frac{4}{5} a \frac{4}{5} b - \frac{1}{5} a \frac{16}{5} b - \frac{4}{5} a 1 \div 4$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

2.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Suatu alarm tanda bahaya yang berupa inframerah harus melewati tiga titik segaris dalam suatu ruang agar alarm dapat bekerja dengan tepat. Jika ketiga titik ini dapat ditampilkan pada koordinat-koordi...

5.0

Jawaban terverifikasi

Pada pukul 13.00, kapal feri MK berada di titik ( − 5 , − 2 ) . Satu jam kemudian, kapal feri tersebut di titik ( − 1 , 0 ) . Jika kapal feri terus berlayar pada arah yang sama, akankah bertabrakan de...

4.6

Jawaban terverifikasi

PQRS adalah segiempat dengan koordinat titik sudut P ( 8 , − 2 , 6 ) , Q ( 16 , 6 , − 2 ) , R ( 0 , 8 , 8 ) , dan S ( − 8 , 0 , 16 ) . a. Tentukan koordinat M, yaitu titik tengahdari PQ. b. Tent...

4.7

Jawaban terverifikasi

5.0

Jawaban terverifikasi

4.6

Jawaban terverifikasi