Pertanyaan

Vektor a = ⎝ ⎛ x y 7 ⎠ ⎞ mempunyai panjang 139 satuan dan membentuk sudut lancip terhadap vektor b = ⎝ ⎛ − 2 6 3 ⎠ ⎞ . Jika proyeksi skalar ortogonal vektor a pada arah vektor b sama dengan 3 , tentukan nilai-nilai x dan y yang mungkin.

Vektor $a = ⎝ ⎛ x y 7 ⎠ ⎞$ mempunyai panjang $139$ satuan dan membentuk sudut lancip terhadap vektor $b = ⎝ ⎛ - 2 63 ⎠ ⎞$ . Jika proyeksi skalar ortogonal vektor $a$ pada arah vektor $b$ sama dengan $3$ , tentukan nilai-nilai $x$ dan $y$ yang mungkin.

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai-nilai x dan y yang mungkin adalah x = − 9 dan y = − 3 atau x = 9 dan y = 3 .

nilai-nilai

x

dan

y

yang mungkin adalah $x = - 9$ dan $y = - 3$ atau $x = 9$ dan

y = 3

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah x = − 9 dan y = − 3 atau x = 9 dan y = 3 . Ingat! Misalkan vektor a dan vektor b adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor c adalah proyeksi skalar ortogonal dari arah vektor a pada arah vektor b makaproyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada arah vektor b ditentukan oleh: c = ∣ ∣ b ∣ ∣ a . b Rumus untuk menentukan panjang vektor r = ( x y ) adalah sebagai berikut: ∣ ∣ r ∣ ∣ = x 2 + y 2 Rumus untuk menentukan hasil kali a . b jika diketahui vektor a = ( x 1 y 1 ) dan vektor b = ( x 2 y 2 ) adalah sebagai berikut: a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 Diketahui: Vektor a = ⎝ ⎛ x y 7 ⎠ ⎞ mempunyai panjang 139 satuan. Vektor b = ⎝ ⎛ − 2 6 3 ⎠ ⎞ . Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada arah vektor b sama dengan 3 . Ditanya: nilai-nilai x dan y yang mungkin. Dengan menggunakan rumus untuk menentukanpanjang vektor di atas, diperoleh hubungan: ∣ ∣ r ∣ ∣ 139 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = = ⇔ = = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + 7 2 x 2 + y 2 + 49 = 139 139 − 49 90 Dengan menggunakan rumus untuk menentukan proyeksi skalar ortogonal dan perkalian titik di atas, diperoleh hubungan: c 3 3 3 × 7 21 2 x − 6 y 2 x x = = = = = ⇔ = = = ∣ ∣ b ∣ ∣ a . b ( − 2 ) 2 + 6 2 + 3 2 x × ( − 2 ) + y × 6 + 7 × 3 7 − 2 x + 6 y + 21 − 2 x + 6 y + 21 − 2 x + 6 y + 21 2 x − 6 y = 21 − 21 0 6 y 3 y Subtitusi nilai x = 3 y ke persamaan x 2 + y 2 = 90 diperoleh ( 3 y ) 2 + y 2 9 y 2 + y 2 10 y 2 y 2 y y = = = = = = 90 90 90 9 9 ± 3 Untuk nilai y = − 3 , maka x = = = 3 y 3 ( − 3 ) − 9 Untuk nilai y = 3 , maka x = = = 3 y 3 ( 3 ) 9 Dengan demikian, nilai-nilai x dan y yang mungkin adalah x = − 9 dan y = − 3 atau x = 9 dan y = 3 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $x = - 9$ dan $y = - 3$ atau $x = 9$ dan $y = 3$ .

Ingat!

Misalkan vektor $a$ dan vektor $b$ adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor $c$ adalah proyeksi skalar ortogonal dari arah vektor $a$ pada arah vektor $b$ maka proyeksi skalar ortogonal dari vektor $a$ pada arah vektor $b$ ditentukan oleh:

$c = \frac{a . b}{∣ ∣ b ∣ ∣}$

Rumus untuk menentukan panjang vektor $r = (x y)$ adalah sebagai berikut:

$∣ ∣ r ∣ ∣ = x^{2} + y^{2}$

Rumus untuk menentukan hasil kali $a . b$ jika diketahui vektor $a = (x_{1} y_{1})$ dan vektor $b = (x_{2} y_{2})$ adalah sebagai berikut:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

Diketahui:

Vektor $a = ⎝ ⎛ x y 7 ⎠ ⎞$ mempunyai panjang $139$ satuan.

Vektor $b = ⎝ ⎛ - 2 63 ⎠ ⎞$ .

Proyeksi skalar ortogonal vektor $a$ pada arah vektor $b$ sama dengan $3$ .

Ditanya: nilai-nilai $x$ dan $y$ yang mungkin.

Dengan menggunakan rumus untuk menentukan panjang vektor di atas, diperoleh hubungan:

$∣ ∣ r ∣ ∣ 139 x^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} = = \Leftrightarrow = = x^{2} + y^{2} + z^{2} x^{2} + y^{2} + 7^{2} x^{2} + y^{2} + 49 = 139 139 - 49 90$

Dengan menggunakan rumus untuk menentukan proyeksi skalar ortogonal dan perkalian titik di atas, diperoleh hubungan:

$c 33 3 \times 7 21 2 x - 6 y 2 x x = = = = = \Leftrightarrow = = = \frac{a . b}{∣ ∣ b ∣ ∣} \frac{x \times ( - 2 ) + y \times 6 + 7 \times 3}{( - 2 ) ^{2} + 6 ^{2} + 3 ^{2}} \frac{- 2 x + 6 y + 21}{7} - 2 x + 6 y + 21 - 2 x + 6 y + 21 2 x - 6 y = 21 - 21 0 6 y 3 y$

Subtitusi nilai $x = 3 y$ ke persamaan $x^{2} + y^{2} = 90$ diperoleh

$(3 y)^{2} + y^{2} 9 y^{2} + y^{2} 10 y^{2} y^{2} y y = = = = = = 90909099 \pm 3$

Untuk nilai $y = - 3$ , maka

$x = = = 3 y 3 (- 3) - 9$

Untuk nilai $y = 3$ , maka

$x = = = 3 y 3 (3) 9$

Dengan demikian, nilai-nilai $x$ dan $y$ yang mungkin adalah $x = - 9$ dan $y = - 3$ atau $x = 9$ dan $y = 3$ .

Latihan Bab

Pengertian dan Operasi Vektor I

Operasi Vektor II

Kedudukan Vektor

Aljabar Vektor I

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

338

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = ⎝ ⎛ − 2 3 4 ⎠ ⎞ dan b = ⎝ ⎛ x 0 3 ⎠ ⎞ .Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5 4 , maka salah satu nilai x adalah....

389

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

1rb+

4.4

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor p pada arah AB .

415

4.8

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = ⎝ ⎛ − 2 3 4 ⎠ ⎞ dan b = ⎝ ⎛ x 0 3 ⎠ ⎞ .Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5 4 , maka salah satu nilai x adalah....

389

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor p pada arah AB .

415

4.8

Jawaban terverifikasi