Vektor x dengan panjang 5 membuat sudut lancip dengan vektor y=(3, 4). Jika vektor x diproyeksikan ke vektor y, panjang proyeksinya 2. Vektor x tersebut adalah ....

Pertanyaan

Vektor $\overrightarrow x$ dengan panjang $\sqrt5$ membuat sudut lancip dengan vektor $\overrightarrow y=\left(3,\;4\right)$ . Jika vektor $\overrightarrow x$ diproyeksikan ke vektor $\overrightarrow y$ , panjang proyeksinya 2. Vektor $\overrightarrow x$ tersebut adalah ....

$\left(1,\;2\right)\;\mathrm{atau}\;\left(\frac25,\;\frac{11}5\right)$
$\left(2,\;1\right)\;\mathrm{atau}\;\left(\frac25,\;\frac{11}5\right)$
$\left(1,\;2\right)\;\mathrm{atau}\;\left(\frac45\sqrt5,\;\frac35\sqrt5\right)$
$\left(2,\;1\right)\;\mathrm{atau}\;\left(\frac35\sqrt5,\;\frac45\sqrt5\right)$
$\left(\frac25,\;\frac{11}5\right)\;\mathrm{atau}\;\left(\frac45\sqrt5,\;\frac35\sqrt5\right)$

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Jika diketahui vektor $\overrightarrow a=\left(x_1,\;y_1\right)$ dan vektor $\overrightarrow b=\left(x_2,\;y_2\right)$ , maka panjang proyeksi $\overrightarrow a$ pada/terhadap $\overrightarrow b$ dapat dicari dengan cara berikut :

$open vertical bar stack a subscript b with rightwards arrow on top close vertical bar equals fraction numerator a with rightwards arrow on top bullet b with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar b with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction$

Dimana :

$\overrightarrow a\bullet\overrightarrow b=\left(x_1\cdot x_2\right)+\left(y_1\cdot y_2\right)$

$\left|\overrightarrow b\right|=\sqrt{\left(x_2\right)^2+\left(y_2\right)^2}$

Diketahui :

$\left|\overrightarrow x\right|=\sqrt5$

$\overrightarrow y=\left(3,\;4\right)$

$\left|\overrightarrow{x_y}\right|=2$

Misalkan $\overrightarrow x=\left(a,\;b\right)$ maka diperoleh :

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow x\right|&=&\sqrt{a^2+b^2}\\\sqrt5&=&\sqrt{a^2+b^2}\\5&=&a^2+b^2\;\dots\;\left(1\right)\end{array}$

Selanjutnya panjang proyeksi vektor $\overrightarrow x$ pada vektor $\overrightarrow y$ diperoleh dengan rumus :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open vertical bar stack x subscript y with rightwards arrow on top close vertical bar end cell equals 2 row cell fraction numerator x with rightwards arrow on top bullet y with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar y with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction end cell equals 2 row cell fraction numerator 3 a plus 4 b over denominator square root of 3 squared plus 4 squared end root end fraction end cell equals 2 row cell fraction numerator 3 a plus 4 b over denominator square root of 9 plus 16 end root end fraction end cell equals 2 row cell fraction numerator 3 a plus 4 b over denominator square root of 25 end fraction end cell equals 2 row cell fraction numerator 3 a plus 4 b over denominator 5 end fraction end cell equals 2 row cell 3 a plus 4 b end cell equals 10 row cell 3 a end cell equals cell 10 minus 4 b end cell row a equals cell fraction numerator 10 minus 4 b over denominator 3 end fraction end cell end table$

Substitusi nilai $a$ pada persamaan (1) diperoleh :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row 5 equals cell a squared plus b squared end cell row 5 equals cell open parentheses fraction numerator 10 minus 4 b over denominator 3 end fraction close parentheses squared plus b squared end cell row 5 equals cell fraction numerator 100 minus 80 b plus 16 b squared over denominator 9 end fraction plus b squared end cell row 45 equals cell 100 minus 80 b plus 16 b squared plus 9 b squared end cell row 0 equals cell 25 b squared minus 80 b plus 100 minus 45 end cell row 0 equals cell 25 b squared minus 80 b plus 55 end cell row 0 equals cell 5 b squared minus 16 b plus 11 end cell row 0 equals cell open parentheses 5 b minus 11 close parentheses open parentheses b minus 1 close parentheses end cell end table$

$b=\frac{11}5\;\mathrm{atau}\;b=1$

Menentukan nilai $a$ yaitu :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row a equals cell fraction numerator 10 minus 4 b over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 10 minus 4 open parentheses begin display style 11 over 5 end style close parentheses over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 10 minus begin display style 44 over 5 end style over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator 50 minus 44 over denominator 5 end fraction end style over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell 6 over 15 end cell row blank equals cell 2 over 5 end cell end table$ atau $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row a equals cell fraction numerator 10 minus 4 b over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 10 minus 4 open parentheses 1 close parentheses over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 10 minus 4 over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell 6 over 3 end cell row blank equals 2 end table$

Dikatakan bahwa vektor $\overrightarrow x$ membuat sudut lancip dengan vektor $\overrightarrow y$ maka berlaku $0<\cos\;\theta<1$ . Kita akan cek apakah berlaku untuk $\left(\frac25,\;\frac{11}5\right)$ atau $\left(2,\;1\right)$ .

Untuk vektor $\overrightarrow x=\left(\frac25,\;\frac{11}5\right)$ dan vektor $\overrightarrow y=\left(3,\;4\right)$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space theta end cell equals cell fraction numerator x with rightwards arrow on top bullet y with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar x with rightwards arrow on top close vertical bar open vertical bar y with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses begin display style 2 over 5 end style cross times 3 close parentheses plus open parentheses begin display style 11 over 5 end style cross times 4 close parentheses over denominator open parentheses square root of 5 close parentheses open parentheses 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style 6 over 5 end style plus begin display style 44 over 5 end style over denominator 5 square root of 5 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator begin display style 50 over 5 end style over denominator 5 square root of 5 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 10 over denominator 5 square root of 5 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 over denominator square root of 5 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 over denominator 2 comma 236 end fraction end cell row blank equals cell 0 comma 89 space open parentheses memenuhi close parentheses end cell end table$

Untuk vektor $\overrightarrow x=\left(2,\;1\right)$ dan vektor $\overrightarrow y=\left(3,\;4\right)$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space theta end cell equals cell fraction numerator x with rightwards arrow on top bullet y with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar x with rightwards arrow on top close vertical bar open vertical bar y with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses begin display style 2 cross times 3 end style close parentheses plus open parentheses begin display style 1 cross times 4 end style close parentheses over denominator open parentheses square root of 5 close parentheses open parentheses 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 6 plus 4 over denominator 5 square root of 5 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 10 over denominator 5 square root of 5 end fraction end cell row blank equals cell 0 comma 89 space open parentheses memenuhi close parentheses end cell end table$

Dengan demikian, vektor $\overrightarrow x$ tersebut adalah $\left(2,\;1\right)$ atau $\left(\frac25,\;\frac{11}5\right)$ .

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.

162

5.0 (8 rating)

Britania AR

Ini yang aku cari!

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a=(26) dan vektor b=(68) adalah vektor-vektor dibidang yang disajikan dalam bentuk vektor kolom. a. Tentukan proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada arah vektor b dan proyeksi...

5.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah vektor x dengan panjang 22 membuat sudut lancip dengan y=[3, 1]. Bila vektor diproyeksikan ke vektor y panjang proyeksinya sama dengan 5410. Vektor tersebut adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(0,3) dan B(6,3). Jika AP membagi ruas garis AB sehingga perbandingan maka AP:PB=2:1, maka: a. tentukan koordinat P jika P membagi di dalam ruas garis AB; b. panjang AP dan PB; c. pr...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a=(36) dan b=(5−1). Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor m=(2−4) pada n=(−31).

865

3.8

Jawaban terverifikasi