Pertanyaan

Vektor x dengan panjang 5 membuat sudut lancip dengan vektor y = ( 3 , 4 ) . Jika vektor x diproyeksikan ke vektor y , panjang proyeksinya 2. Vektor x tersebut adalah ....

Vektor $x$ dengan panjang $5$ membuat sudut lancip dengan vektor $y = (3, 4)$ . Jika vektor $x$ diproyeksikan ke vektor $y$ , panjang proyeksinya 2. Vektor $x$ tersebut adalah ....

$(1, 2) atau (\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$
$(2, 1) atau (\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$
$(1, 2) atau (\frac{4}{5} 5, \frac{3}{5} 5)$
$(2, 1) atau (\frac{3}{5} 5, \frac{4}{5} 5)$
$(\frac{2}{5}, \frac{11}{5}) atau (\frac{4}{5} 5, \frac{3}{5} 5)$

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Jika diketahui vektor a = ( x 1 , y 1 ) dan vektor b = ( x 2 , y 2 ) , maka panjang proyeksi a pada/terhadap b dapat dicari dengan cara berikut : ∣ ∣ a b ∣ ∣ = ∣ ∣ b ∣ ∣ a ∙ b Dimana : a ∙ b = ( x 1 ⋅ x 2 ) + ( y 1 ⋅ y 2 ) ∣ ∣ b ∣ ∣ = ( x 2 ) 2 + ( y 2 ) 2 Diketahui : ∣ ∣ x ∣ ∣ = 5 y = ( 3 , 4 ) ∣ ∣ x y ∣ ∣ = 2 Misalkan x = ( a , b ) maka diperoleh : ∣ ∣ x ∣ ∣ 5 5 = = = a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 … ( 1 ) Selanjutnya panjang proyeksi vektor x pada vektor y diperoleh dengan rumus : ∣ ∣ x y ∣ ∣ ∣ y ∣ x ∙ y 3 2 + 4 2 3 a + 4 b 9 + 16 3 a + 4 b 25 3 a + 4 b 5 3 a + 4 b 3 a + 4 b 3 a a = = = = = = = = = 2 2 2 2 2 2 10 10 − 4 b 3 10 − 4 b Substitusi nilai pada persamaan(1) diperoleh : 5 5 5 45 0 0 0 0 = = = = = = = = a 2 + b 2 ( 3 10 − 4 b ) 2 + b 2 9 100 − 80 b + 16 b 2 + b 2 100 − 80 b + 16 b 2 + 9 b 2 25 b 2 − 80 b + 100 − 45 25 b 2 − 80 b + 55 5 b 2 − 16 b + 11 ( 5 b − 11 ) ( b − 1 ) b = 5 11 atau b = 1 Menentukan nilai yaitu : a = = = = = = 3 10 − 4 b 3 10 − 4 ( 5 11 ) 3 10 − 5 44 3 5 50 − 44 15 6 5 2 atau a = = = = = 3 10 − 4 b 3 10 − 4 ( 1 ) 3 10 − 4 3 6 2 Dikatakan bahwavektor x membuat sudut lancip dengan vektor y maka berlaku 0 < cos θ < 1 . Kita akan cek apakah berlaku untuk ( 5 2 , 5 11 ) atau ( 2 , 1 ) . Untukvektor x = ( 5 2 , 5 11 ) dan vektor y = ( 3 , 4 ) cos θ = = = = = = = = ∣ x ∣ ∣ y ∣ x ∙ y ( 5 ) ( 5 ) ( 5 2 × 3 ) + ( 5 11 × 4 ) 5 5 5 6 + 5 44 5 5 5 50 5 5 10 5 2 2 , 236 2 0 , 89 ( memenuhi ) Untukvektor x = ( 2 , 1 ) dan vektor y = ( 3 , 4 ) cos θ = = = = = ∣ x ∣ ∣ y ∣ x ∙ y ( 5 ) ( 5 ) ( 2 × 3 ) + ( 1 × 4 ) 5 5 6 + 4 5 5 10 0 , 89 ( memenuhi ) Dengan demikian, vektor x tersebut adalah ( 2 , 1 ) atau ( 5 2 , 5 11 ) . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.

Jika diketahui vektor $a = (x_{1}, y_{1})$ dan vektor $b = (x_{2}, y_{2})$ , maka panjang proyeksi $a$ pada/terhadap $b$ dapat dicari dengan cara berikut :

$∣ ∣ a_{b} ∣ ∣ = \frac{a ∙ b}{∣ ∣ b ∣ ∣}$

Dimana :

$a ∙ b = (x_{1} \cdot x_{2}) + (y_{1} \cdot y_{2})$

$∣ ∣ b ∣ ∣ = (x_{2})^{2} + (y_{2})^{2}$

Diketahui :

$∣ ∣ x ∣ ∣ = 5$

$y = (3, 4)$

$∣ ∣ x_{y} ∣ ∣ = 2$

Misalkan $x = (a, b)$ maka diperoleh :

$∣ ∣ x ∣ ∣ 55 = = = a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} \dots (1)$

Selanjutnya panjang proyeksi vektor $x$ pada vektor $y$ diperoleh dengan rumus :

$∣ ∣ x_{y} ∣ ∣ \frac{x ∙ y}{∣ y ∣} \frac{3 a + 4 b}{3 ^{2} + 4 ^{2}} \frac{3 a + 4 b}{9 + 16} \frac{3 a + 4 b}{25} \frac{3 a + 4 b}{5} 3 a + 4 b 3 a a = = = = = = = = = 22222210 10 - 4 b \frac{10 - 4 b}{3}$

Substitusi nilai $a$ pada persamaan (1) diperoleh :

$555450000 = = = = = = = = a^{2} + b^{2} (\frac{10 - 4 b}{3})^{2} + b^{2} \frac{100 - 80 b + 16 b ^{2}}{9} + b^{2} 100 - 80 b + 16 b^{2} + 9 b^{2} 25 b^{2} - 80 b + 100 - 45 25 b^{2} - 80 b + 55 5 b^{2} - 16 b + 11 (5 b - 11) (b - 1)$

$b = \frac{11}{5} atau b = 1$

Menentukan nilai $a$ yaitu :

$a = = = = = = \frac{10 - 4 b}{3} \frac{10 - 4 ( \frac{11}{5} )}{3} \frac{10 - \frac{44}{5}}{3} \frac{\frac{50 - 44}{5}}{3} \frac{6}{15} \frac{2}{5}$ atau $a = = = = = \frac{10 - 4 b}{3} \frac{10 - 4 ( 1 )}{3} \frac{10 - 4}{3} \frac{6}{3} 2$

Dikatakan bahwa vektor $x$ membuat sudut lancip dengan vektor $y$ maka berlaku $0 < cos θ < 1$ . Kita akan cek apakah berlaku untuk $(\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$ atau $(2, 1)$ .

Untuk vektor $x = (\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$ dan vektor $y = (3, 4)$

$cos θ = = = = = = = = \frac{x ∙ y}{∣ x ∣ ∣ y ∣} \frac{( \frac{2}{5} \times 3 ) + ( \frac{11}{5} \times 4 )}{( 5 ) ( 5 )} \frac{\frac{6}{5} + \frac{44}{5}}{5 5} \frac{\frac{50}{5}}{5 5} \frac{10}{5 5} \frac{2}{5} \frac{2}{2 , 236} 0, 89 (memenuhi)$

Untuk vektor $x = (2, 1)$ dan vektor $y = (3, 4)$

$cos θ = = = = = \frac{x ∙ y}{∣ x ∣ ∣ y ∣} \frac{( 2 \times 3 ) + ( 1 \times 4 )}{( 5 ) ( 5 )} \frac{6 + 4}{5 5} \frac{10}{5 5} 0, 89 (memenuhi)$

Dengan demikian, vektor $x$ tersebut adalah $(2, 1)$ atau $(\frac{2}{5}, \frac{11}{5})$ .

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

192

5.0 (8 rating)

Britania AR

Ini yang aku cari!

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = ( 2 6 ) dan vektor b = ( 6 8 ) adalah vektor-vektor dibidang yang disajikan dalam bentuk vektor kolom. a.Tentukan proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada arah vektor b...

5.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah vektor x dengan panjang 2 2 membuat sudut lancip dengan y = [ 3 , 1 ] . Bila vektor diproyeksikan ke vektor y panjang proyeksinya sama dengan 5 4 10 . Vektor tersebut adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 0 , 3 ) dan B ( 6 , 3 ) . Jika AP membagi ruas garis AB sehingga perbandingan maka AP : PB = 2 : 1 , maka: a. tentukan koordinat P jika P membagi di dalam ruas garis AB ; b. pa...

171

5.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah vektor x dengan panjang 2 2 membuat sudut lancip dengan y = [ 3 , 1 ] . Bila vektor diproyeksikan ke vektor y panjang proyeksinya sama dengan 5 4 10 . Vektor tersebut adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 0 , 3 ) dan B ( 6 , 3 ) . Jika AP membagi ruas garis AB sehingga perbandingan maka AP : PB = 2 : 1 , maka: a. tentukan koordinat P jika P membagi di dalam ruas garis AB ; b. pa...

171

5.0

Jawaban terverifikasi