Pertanyaan

Diketahui titik A ( 0 , 3 ) dan B ( 6 , 3 ) . Jika AP membagi ruas garis AB sehingga perbandingan maka AP : PB = 2 : 1 , maka: a. tentukan koordinat P jika P membagi di dalam ruas garis AB ; b. panjang A P dan PB ; c. proyeksi skalar A P terhadap PB .

Diketahui titik $A (0, 3)$ dan $B (6, 3)$ . Jika $\overline{AP}$ membagi ruas garis $\overline{AB}$ sehingga perbandingan maka $\overline{AP} : \overline{PB} = 2 : 1$ , maka:

a. tentukan koordinat $P$ jika $P$ membagi di dalam ruas garis $\overline{AB}$ ;
b. panjang $A P$ dan $PB$ ;
c. proyeksi skalar $A P$ terhadap $PB$ .

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah: a. ( 4 , 3 ) , b. ∣ ∣ A P ∣ ∣ = 4 dan ∣ ∣ PB ∣ ∣ = 2 , c. s = 4 . a. Koordinat P; Jika terdapat dua titik A dan B , lalu ada titik ketiga P yang membagi ruas garis AB menjadi AP : PB = 2 : 1 , maka koordinat P dapat dicari dengan perbandingan vektor berikut: PB A P = 1 2 Dimana: A P = OP − O A PB = OB − OP Maka: PB A P OB − OP OP − O A OP − O A 3 OP 3 OP 3 OP 3 OP OP = = = = = = = = 1 2 1 2 2 OB − 2 OP 2 OB + O A 2 ( 6 , 3 ) + ( 0 , 3 ) ( 12 , 6 ) + ( 0 , 3 ) ( 12 , 9 ) ( 4 , 3 ) Karena nilai koordinat titik P sama dengan vektor posisi OP , maka koordinat titik P adalah ( 4 , 3 ) . Dengan demikian, koordinat titik P adalah ( 4 , 3 ) . b. panjang A P dan PB ; Jika A ( x , y , z ) maka panjang vektor O A dapat dicari dengan: ∣ a ∣ = x 2 + y 2 + z 2 Dengan ini nilai ∣ ∣ A P ∣ ∣ dapat dicari dengan cara berikut: A P ∣ ∣ A P ∣ ∣ = = = = = = = = OP − O A ( 4 , 3 ) − ( 0 , 3 ) ( 4 − 0 , 3 − 3 ) ( 4 , 0 ) 4 2 + 0 2 16 + 0 16 4 Dan nilai ∣ ∣ PB ∣ ∣ dapat dicari dengan cara berikut: PB ∣ ∣ PB ∣ ∣ = = = = = = = = OB − OP ( 6 , 3 ) − ( 4 , 3 ) ( 6 − 4 , 3 − 3 ) ( 2 , 0 ) 2 2 + 0 2 4 + 0 4 2 Dengan demikian, panjang A P adalah 4 dan panjang PB adalah 2 satuan panjang. c. proyeksi skalar A P terhadap PB . Proyeksi skalar dapat diperoleh dengan rumus berikut A P terhadap PB : s = ∣ ∣ PB ∣ ∣ A P ⋅ PB Maka nilai A P . PB dapat diperoleh dengan cara berikut: A P . PB = = = ( 4 , 0 ) ⋅ ( 2 , 0 ) ( 4 ) ( 2 ) + ( 0 ) ( 0 ) 8 Maka proyeksi skalar A P terhadap PB adalah: s = = = ∣ ∣ PB ∣ ∣ A P ⋅ PB 2 8 4 Dengan demikian,proyeksi skalar A P terhadap PB adalah 4 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah: a. $(4, 3)$ , b. $∣ ∣ A P ∣ ∣ = 4$ dan $∣ ∣ PB ∣ ∣ = 2$ , c. $s = 4$ .

a. Koordinat P;

Jika terdapat dua titik $A$ dan $B$ , lalu ada titik ketiga $P$ yang membagi ruas garis $\overline{AB}$ menjadi $\overline{AP} : \overline{PB} = 2 : 1$ , maka koordinat $P$ dapat dicari dengan perbandingan vektor berikut:

$\frac{A P}{PB} = \frac{2}{1}$

Dimana:

$A P = OP - O A PB = OB - OP$

Maka:

$\frac{A P}{PB} \frac{OP - O A}{OB - OP} OP - O A 3 OP 3 OP 3 OP 3 OP OP = = = = = = = = \frac{2}{1} \frac{2}{1} 2 OB - 2 OP 2 OB + O A 2 (6, 3) + (0, 3) (12, 6) + (0, 3) (12, 9) (4, 3)$

Karena nilai koordinat titik $P$ sama dengan vektor posisi $OP$ , maka koordinat titik $P$ adalah $(4, 3)$ .

Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(4, 3)$ .

b. panjang $A P$ dan $PB$ ;

Jika $A (x, y, z)$ maka panjang vektor $O A$ dapat dicari dengan:

$∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Dengan ini nilai $∣ ∣ A P ∣ ∣$ dapat dicari dengan cara berikut:

$A P ∣ ∣ A P ∣ ∣ = = = = = = = = OP - O A (4, 3) - (0, 3) (4 - 0, 3 - 3) (4, 0) 4^{2} + 0^{2} 16 + 0 164$

Dan nilai $∣ ∣ PB ∣ ∣$ dapat dicari dengan cara berikut:

$PB ∣ ∣ PB ∣ ∣ = = = = = = = = OB - OP (6, 3) - (4, 3) (6 - 4, 3 - 3) (2, 0) 2^{2} + 0^{2} 4 + 0 42$

Dengan demikian, panjang $A P$ adalah $4$ dan panjang $PB$ adalah $2$ satuan panjang.

c. proyeksi skalar $A P$ terhadap $PB$ .

Proyeksi skalar dapat diperoleh dengan rumus berikut $A P$ terhadap $PB$ :

$s = \frac{A P \cdot PB}{∣ ∣ PB ∣ ∣}$

Maka nilai $A P . PB$ dapat diperoleh dengan cara berikut:

$A P . PB = = = (4, 0) \cdot (2, 0) (4) (2) + (0) (0) 8$

Maka proyeksi skalar $A P$ terhadap $PB$ adalah:

$s = = = \frac{A P \cdot PB}{∣ ∣ PB ∣ ∣} \frac{8}{2} 4$

Dengan demikian, proyeksi skalar $A P$ terhadap $PB$ adalah $4$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

171

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Vektor x dengan panjang 5 membuat sudut lancip dengan vektor y = ( 3 , 4 ) . Jika vektor x diproyeksikan ke vektor y , panjang proyeksinya 2. Vektor x tersebut adalah ....

192

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = ( 2 6 ) dan vektor b = ( 6 8 ) adalah vektor-vektor dibidang yang disajikan dalam bentuk vektor kolom. a.Tentukan proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada arah vektor b...

5.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah vektor x dengan panjang 2 2 membuat sudut lancip dengan y = [ 3 , 1 ] . Bila vektor diproyeksikan ke vektor y panjang proyeksinya sama dengan 5 4 10 . Vektor tersebut adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah vektor x dengan panjang 2 2 membuat sudut lancip dengan y = [ 3 , 1 ] . Bila vektor diproyeksikan ke vektor y panjang proyeksinya sama dengan 5 4 10 . Vektor tersebut adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Vektor x dengan panjang 5 membuat sudut lancip dengan vektor y = ( 3 , 4 ) . Jika vektor x diproyeksikan ke vektor y , panjang proyeksinya 2. Vektor x tersebut adalah ....

192

5.0

Jawaban terverifikasi