Pertanyaan

Untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 36 0 ∘ , tentukan himpunan penyelesaiandari persamaan trigonometri di bawah ini : 3 sin x + 4 cos x = 2

Untuk $0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ , tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri di bawah ini :

$3 sin x + 4 cos x = 2$

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

Klaim

A. Hadiannur

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

himpunan penyelesaiannya adalah { 103 , 2 8 ∘ , 330 , 4 4 ∘ } .

himpunan penyelesaiannya adalah

{103, 2 8^{\circ}, 330, 4 4^{\circ}}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) = a cos x + b sin x , dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , c ≤ R : x = α ± cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ bilangan bulat Diketahui dari soal : 3 sin x + 4 cos x = 2 Karena ( 3 , 4 ) di kuadran pertama maka α juga di kuadran pertama. Berdasarkan konsep diperoleh : R cos ( x − α ) 4 cos x + 3 sin x R R α = = = = = a cos x + b sin x R cos ( x − α ) = 2 a 2 + b 2 4 2 + 3 2 = 16 + 9 = 25 = 5 tan − 1 ( a b ) = tan − 1 ( 4 3 ) = 36 , 8 6 ∘ Sehingga diperoleh persamaan 5 cos ( x − 36 , 8 6 ∘ ) = 2 . Diperoleh penyelesaian sebagai berikut : 5 cos ( x − 36 , 8 6 ∘ ) cos ( x − 36 , 8 6 ∘ ) x − 36 , 8 6 ∘ cos − 1 ( 5 2 ) x u n t u k k x 1 u n t u k k x 2 = = = = = = = = = 2 5 2 cos − 1 ( 5 2 ) 66 , 4 2 ∘ α ± cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 0 : 36 , 8 6 ∘ + 66 , 4 2 ∘ + k ⋅ 36 0 ∘ = 103 , 2 8 ∘ 1 : 36 , 8 6 ∘ − 66 , 4 2 ∘ + 36 0 ∘ = 330 , 4 4 ∘ Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah { 103 , 2 8 ∘ , 330 , 4 4 ∘ } .

Ingat :

$R cos (x - α) = a cos x + b sin x, dengan R = a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, c \leq R$ :

$x = α \pm cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in bilangan bulat$

Diketahui dari soal :

$3 sin x + 4 cos x = 2$

Karena $(3, 4)$ di kuadran pertama maka $α$ juga di kuadran pertama. Berdasarkan konsep diperoleh :

$R cos (x - α) 4 cos x + 3 sin x R R α = = = = = a cos x + b sin x R cos (x - α) = 2 a^{2} + b^{2} 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5 tan^{- 1} (\frac{b}{a}) = tan^{- 1} (\frac{3}{4}) = 36, 8 6^{\circ}$

Sehingga diperoleh persamaan $5 cos (x - 36, 8 6^{\circ}) = 2$ . Diperoleh penyelesaian sebagai berikut :

$5 cos (x - 36, 8 6^{\circ}) cos (x - 36, 8 6^{\circ}) x - 36, 8 6^{\circ} cos^{- 1} (\frac{2}{5}) x u n t u k k x_{1} u n t u k k x_{2} = = = = = = = = = 2 \frac{2}{5} cos^{- 1} (\frac{2}{5}) 66, 4 2^{\circ} α \pm cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 0 : 36, 8 6^{\circ} + 66, 4 2^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ} = 103, 2 8^{\circ} 1 : 36, 8 6^{\circ} - 66, 4 2^{\circ} + 36 0^{\circ} = 330, 4 4^{\circ}$